مارپیچ طلایی

در هندسه اسپیرال طلائی (به انگلیسی: Golden spiral) یا مارپیچ طلائی یک اسپیرال لگاریتمی است که عامل رشد آن φ نسبت طلایی است. اسپیرال طلائی بر پایه φ به ازا هر ربع چرخش گسترده‌تر یا بازگردانده‌تر به مبدا می‌شود.

شکل حدودی اسپیرال طلائی

فرمول

دستگاه مختصات قطبی برای اسپرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی است، ولی با رشد مخصوص b:

$r=ae^{b\theta }\,$

یا

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

با عدد e مانند لگاریتم، a هست مثبت و ممتد مانند زمانی که bو θ طبیعی است زاویه قائمه ربع چرخش در جهت دیگر):

$e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\varphi$

در نتیجه b می‌دهد

$b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.$

مقدار عددی b بستگی دارد به اینکه زاویه سمت راست به اندازه ۹۰ درجه باشد یا $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ رادیان

زاویه می‌تواند در جهت دیگر باشد و نوشتن فرمول برای مقدار مطلق $b$ (که b می‌تواند همچنین مقدار منفی باشد) ساده‌تر است :

اعداد فیبوناچی نمایش برای اندازه مربعات ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و ۳۴.

$|b|={\ln {\varphi } \over 90}=0.0053468\,$ for θ in degrees;

$|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}=0.306349\,$ for θ in radians.

فرمول دیگر برای لگاریتم و اسپیرال طلائی به شرح زیر است:

$r=ac^{\theta }\,$

جایی که ثابت c می دهد:

$c=e^{b}\,$

که برای اسپرال طلائی c می‌دهد مقدار:

$c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611$

اگر θ به درجه اندازه‌گیری شود و

$c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.$

اگر θ اندازه‌گیری شود به رادیان.

خصوصیات

اسپیرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.

جستارهای وابسته

• مارپیچ لگاریتمی
• اعداد فیبوناچی

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی