تبدیل ستاره-مثلث

تبدیل ستاره مثلث، یا وای-دلتا، روشی ریاضی برای تسهیل تحلیل یک شبکه الکتریکی است. این نام از شکل نمودارهای مداری، که به ترتب شبیه حروف Y و حرف یونانی Δ هستند مشتق شده است. این نظریه تبدیل مدار توسط آرتور ادوین کینلی منتشر شد.

مدارات دلتا و وای با برچسبهایی که در این مقاله به کار رفته‌اند.

ایده

شکل بالا را در نظر بگیرید. این دو ساختار (ستاره و مثلث) تنها در صورتی برابر هستند که مقاومت معادل بین هر دو نقطه در هردو شکل برابر باشد. یعنی به طور مثال مقاومت معادل بین نقاط ${N_{1}}$ و ${N_{2}}$ در ساختار مثلث باید برابر با مقاومت همان دو نقطه در ساختار ستاره برابر باشد.

روش

مثلث به ستاره

با توجه به ایده گفته شده در بالا، فرض کنید که مقاومت‌های ساختار مثلثی داده (${R_{b}}$،${R_{a}}$،${R_{c}}$) و مقاومت‌های ساختار ستاره باید محاسبه شوند.
دو نقطه ${N_{1}}$ و ${N_{3}}$ را در ساختار مثلثی نظر بگیرید. مقاومت معادل در ساختار ستاره (بین همان دو نقطه) برابر است با:

${R_{1}}+{R_{3}}={{{R_{a}}({R_{b}}+{R_{c}})} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}$

به همین ترتیب می‌توان مقاومت معادل بین دو جفت نقاط دیگر را محاسبه و پس از ساده‌سازی به روابط زیر دست یافت:

${R_{1}}={{R_{a}}{R_{b}} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}$

${R_{2}}={{R_{b}}{R_{c}} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}$

${R_{3}}={{R_{a}}{R_{c}} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}$

حالت خاص وقتی که همه مقاومت ها یکسان باشد:

${R_{1}}={{R_{a}} \over {3}}$

ستاره به مثلث

${R_{a}}={{R_{1}}{R_{2}}+{R_{2}}{R_{3}}+{R_{1}}{R_{3}} \over {R_{2}}}$

${R_{b}}={{R_{1}}{R_{2}}+{R_{1}}{R_{3}}+{R_{2}}{R_{3}} \over {R_{3}}}$

${R_{c}}={{R_{1}}{R_{2}}+{R_{1}}{R_{3}}+{R_{2}}{R_{3}} \over {R_{1}}}$

حالت خاص وقتی که همه مقاومت ها یکسان باشد:

${R_{a}}={{3}{R_{1}}}$

منابع

• William Stevenson, “Elements of Power System Analysis 3rd ed. ”, McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
• Hagmann, Gert (2006). Grundlagen der Elektrotechnik. Aula. ISBN 3-89104-707-X.