تبدیل موجک سریع الگوریتمی ریاضی برای یافتنِ تبدیل موجک یک سیگنال است. بدین منظور تصویرِ سیگنال روی هر یک از توابع موجک در زمان‌ها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر، حاصل‌ضرب داخلی سیگنال
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
s
n
(
J
)
:=
2
J
⟨
f
(
t
)
,
ϕ
(
2
J
t
−
n
)
⟩
,
{\displaystyle s_{n}^{(J)}:=2^{J}\langle f(t),\phi (2^{J}t-n)\rangle ,}
تصویر سیگنال بر فضای
V
j
{\displaystyle V_{j}}
P
J
[
f
]
(
x
)
:=
∑
n
∈
Z
s
n
(
J
)
ϕ
(
2
J
x
−
n
)
{\displaystyle P_{J}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(J)}\,\phi (2^{J}x-n)}
یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g با داشتنِ مضارب
s
(
J
)
{\displaystyle s^{(J)}}
s
(
J
−
1
)
{\displaystyle s^{(J-1)}}
s
n
(
k
)
:=
1
2
∑
m
=
−
N
N
a
m
s
2
n
+
m
(
k
+
1
)
{\displaystyle s_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}a_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}}
یا:
s
(
k
)
(
Z
)
:=
(
↓
2
)
(
a
∗
(
Z
)
⋅
s
(
k
+
1
)
(
Z
)
)
{\displaystyle s^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(a^{*}(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))}
و:
d
n
(
k
)
:=
1
2
∑
m
=
−
N
N
b
m
s
2
n
+
m
(
k
+
1
)
{\displaystyle d_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}b_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}}
یا:
d
(
k
)
(
Z
)
:=
(
↓
2
)
(
b
∗
(
Z
)
⋅
s
(
k
+
1
)
(
Z
)
)
{\displaystyle d^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(b^{*}(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))}
اعمال بانک فیلتر به صورت بازگشتی که
(
↓
2
)
{\displaystyle (\downarrow 2)}
زیرنمونه‌گیری است و در فضای زد به صورت سری لوران ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:
(
↓
2
)
(
c
(
Z
)
)
=
∑
k
∈
Z
c
2
k
Z
k
{\displaystyle (\downarrow 2)(c(Z))=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{2k}Z^{k}}
بدین ترتیب:
P
k
[
f
]
(
x
)
:=
∑
n
∈
Z
s
n
(
k
)
ϕ
(
2
k
x
−
n
)
{\displaystyle P_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(k)}\,\phi (2^{k}x-n)}
که حاصل جمعِ بالا برابر با تصویر سیگنال
P
k
[
f
]
(
x
)
{\displaystyle P_{k}[f](x)}
V
k
{\displaystyle V_{k}}
P
J
[
f
]
(
x
)
=
P
k
[
f
]
(
x
)
+
D
k
[
f
]
(
x
)
+
⋯
+
D
J
−
1
[
f
]
(
x
)
{\displaystyle P_{J}[f](x)=P_{k}[f](x)+D_{k}[f](x)+\dots +D_{J-1}[f](x)}
که ضرایب جزئی برابرند با:
D
k
[
f
]
(
x
)
:=
∑
n
∈
Z
d
n
(
k
)
ψ
(
2
k
x
−
n
)
{\displaystyle D_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}^{(k)}\,\psi (2^{k}x-n)}
که
ψ
{\displaystyle \psi }
موجک مادر نامیده می‌شود.
:=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(J)}\,\phi (2^{J}x-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cc0f1f8abd7e561ff7d077246d7503e434a632)
:=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(k)}\,\phi (2^{k}x-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b55292842dbd9e1c60a54eb299eb1f4ca62a75)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f8b903baa9483482659c9a4a6322ddfc31bd38)
=P_{k}[f](x)+D_{k}[f](x)+\dots +D_{J-1}[f](x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f5f04a60bb8d3340ac867247368485ea2a14db)
:=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}^{(k)}\,\psi (2^{k}x-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b55154fdb2f3b24d851c5b6f805dca31198699)
