حساب تغییرات

حساب وردش^[۱] یا حساب تغییرات (به انگلیسی: Calculus of variations) حوزه ای از آنالیز ریاضی است که از وردش (تغییرات) کوچک در پردازه‌ها(توابع) و تابعک‌ها برای یافتن ماکسیمم‌ها و مینیمم‌ها استفاده می‌کند. نگاشت‌هایی از یک دسته پردازه (تابع) به اعداد حقیقی.^{[یادداشت ۱]} تابعک‌ها اغلب به صورت انتگرال‌های معینی بیان می‌شوند که در آن توابع و مشتقاتشان ظاهر می‌شوند. پردازه‌هایی که تابعک‌ها را ماکسیمم و مینیمم می‌کنند را می‌توان در حساب وردش توسط معادلات اویلر-لاگرانژ پیدا کرد.

مثالی ساده از چنین مسائلی یافتن خمی با کوتاه‌ترین طول بین دو نقطه است. اگر هیچ قیدی در کار نباشد، جواب این مسئله خط راست بین آن دو نقطه خواهد بود. با این حال، اگر روی خمی قید بگذاریم که در رویه مورد نظر باقی بماند، آنگاه جواب کمی غیر بدیهی شده و ممکن است هم‌زمان چندین جواب وجود داشته باشد. به چنین راه‌حل‌هایی ژئودزی‌ می‌گویند. مسئله مرتبط دیگری توسط اصل فِرما بیان می‌شود: نور کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه را طی می‌کند، که طول مسیر آن به مواد فضای پیرامونی‌اش بستگی دارد. مفهوم مرتبط دیگر در مکانیک اصل کمترین کنش است.

بسیاری از مسائل مهم با توابع چند متغیره سروکار دارند. جواب‌های مسائل مقدار مرزی برای معادله لاپلاس در اصل دیریکله صدق می‌کنند. مسئله پلاتو، به دنبال یافتن رویه ای با مساحت مینیمال است به گونه ای که مرزهای آن از یک خم بسته مشخص در فضا عبور کند: راه حل آن اغلب با فروبردن یک قاب در محلول آب صابون بدست می‌آید. گرچه چنین آزمایشی را می‌توان نسبتاً راحت انجام داد، اما تفسیر ریاضی آن ساده نیست: بیش از یک رویه وجود دارند که به‌طور موضعی کمینه هستند، و ممکن است این رویه‌ها توپولوژی نابدیهی داشته باشند.

تاریخچه

می‌توان گفت که حساب وردش از مسئله مقاومت کمینه نیوتون در ۱۶۸۷ آغاز گشت، که به دنبال آن مسئله خم براخیستوکرون (خم کوتاه‌ترین زمان) در ۱۶۹۶ توسط یوهان برنولی مطرح شد.^[۳] بلافاصله پس از آن، توجه جیکوب برنولی و مارکوس دو هوپیتال هم جلب شد، اما اولین بار این لئونارد اویلر بود که مسئله را به دقت در ۱۷۳۳ شرح داد. لاگرانژ توسط خدمات قابل توجه اویلر به این مسئله تحت تأثیر قرار گرفت. بعد از این که اویلر کار ۱۷۵۵ لاگرانژ ۱۹ ساله را دید، رهیافت هندسی خود را رها کرده و به رهیافت آنالیز محض لاگرانژ پیوست و موضوع مورد مطالعه را در رساله ۱۷۵۶ خود (Elementa Calculi Variationum) به حساب وردش، تغییر داد.^[۴]^[۵]^{[یادداشت ۲]}

لژاندر در ۱۷۸۶ روشی را بنا نهاد که به منظور تمایز بین مینیمم‌ها و ماکسیمم‌ها کاملاً رضایت بخش عمل نمی‌کرد. از همان اوایل توجه اسحاق نیوتون و گتفرید لایبنیز هم به این موضوع جلب شد.^[۶] در میان مشارکت کنندگان به بحث تمایز بین مینیمم‌ها و ماکسیمم‌ها این ریاضیدانان به چشم می‌خورند: وینچنزو بروناچی (۱۸۱۰)، کارل فردریش گاوس (۱۸۲۹)، سیمون پواسون (۱۸۳۱)، میخائیل اوسترگرادسکی (۱۸۳۴) کارل جیکوبی (۱۸۳۷). یکی از کارهای عمومی مهم مربوط به ساروس (۱۸۴۲) می‌شد که توسط کوشی (۱۸۴۴) خلاصه شده و ارتقاء یافت. رسالات و تاریخچه‌های با ارزشی توسط استراوچ (۱۸۴۹)، جلت (۱۸۵۰)، اتو هسه (۱۸۵۷)، آلفرد کلبش (۱۸۵۸) و کارل (۱۸۸۵) نوشته شده، اما شاید مهم‌ترین کار قرن نوزدهم مربوط به وایرشتراس باشد. تدریس مشهور او در ارتباط با این نظریه از نظر تاریخی اثرگذار بوده و ممکن است او اولین کسی باشد که این نظریه را بر شالوده‌ای محکم و غیرقابل انکاری قرار داده باشد. مسائل بیستم و بیست و سوم هیلبرت در ۱۹۰۰ میلادی منتشر شدند و توسعه حساب وردشی را تشویق نمودند.^[۶]

در قرن بیستم دیوید هیلبرت، امی نوتر، لئونیدا تونلی، هنری لبگ و جکوئس هادامارد در میان دیگران سهم عمده ای داشتند.^[۶] مارستون مورس حساب وردشی را در نظریه ای که اکنون به نام نظریه مورس معروف است به کار برد.^[۷] لو پونتریجین، رالف رکافلار و اف.اچ. کلارک ابزار ریاضیاتی نوینی را برای به کار بردن حساب وردشی در نظریه کنترل بهینه توسعه دادند.^[۷] برنامه‌نویسی پویا ریچارد بلمن راهکار جایگزینی برای حساب وردشی در نظریه کنترل است.^[۸]^[۹]^[۱۰]^{[یادداشت ۳]}

یادداشت‌ها

↑ ازآنجا که حساب معمولی در مورد تغییرات بی‌نهایت کوچک در متغیر توابع بدون تغییر در خود توابع است، حساب تغییرات در مورد تغییرات بی‌نهایت کوچک در خود تابع بوده که به آن تغییرات یا وردش گویند. .^[۲]
↑ "اویلر ابتدا صبر کرد که لاگرانژ موضوع را در ۱۷۶۲ منتشر کند… قبل از این که او رساله اش را… برای چاپ آماده کند، تا از لاگرانژ سوء استفاده نکرده باشد. و در حقیقت روشی که اویلر نام "حساب تغییرات" را بر آن نهاد مختص لاگرانژ بود."^[۴]
↑ See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g. , the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."

منابع

↑ «سامانه واژه‌یار». vajeyar.apll.ir. دریافت‌شده در ۲۰۲۳-۰۴-۱۴.
↑ (Courant و Hilbert 1953، ص. 184)
↑ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0-486-41448-5.
↑ ^۴٫۰ ^۴٫۱ Thiele, Rüdiger (2007). "Euler and the Calculus of Variations". In Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (eds.). Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier. p. 249. ISBN 978-0-08-047129-7.
↑ Goldstine, Herman H. (2012). A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Springer Science & Business Media. p. 110. ISBN 978-1-4613-8106-8.
↑ ^۶٫۰ ^۶٫۱ ^۶٫۲ van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 978-0-387-40247-5.
↑ ^۷٫۰ ^۷٫۱ Ferguson, James (2004). "Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications". arXiv:math/0402357.
↑ Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
↑ Bellman, Richard E. (1954). "Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations". Proc. Natl. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. Bibcode:1954PNAS...40..231B. doi:10.1073/pnas.40.4.231. PMC 527981. PMID 16589462.
↑ "Richard E. Bellman Control Heritage Award". American Automatic Control Council. 2004. Archived from the original on 1 October 2018. Retrieved 2013-07-28.

برای مطالعه بیشتر

Benesova, B. and Kruzik, M. : "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, شابک ‎۹۷۸−۱−۴۱۸۱−۸۲۰۱−۴.
Cassel, Kevin W. : Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
Clegg, J.C. : Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc. , 1968.
Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
Dacorogna, Bernard: "Introduction" Introduction to the Calculus of Variations, 3rd edition. 2014, World Scientific Publishing, شابک ‎۹۷۸−۱−۷۸۳۲۶−۵۵۱−۰.
Elsgolc, L.E. : Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd. , 1962.
Forsyth, A.R. : Calculus of Variations, Dover, 1960.
Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ. , 1987.
Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, شابک ‎۹۷۸−۳−۶۶۲−۰۳۲۷۸−۷ and شابک ‎۹۷۸−۳−۶۶۲−۰۶۲۰۱−۲
Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.
Lebedev, L.P. and Cloud, M.J. : The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
Logan, J. David: Applied Mathematics, 3rd edition. Wiley-Interscience, 2006
Pike, Ralph W. "Chapter 8: Calculus of Variations". Optimization for Engineering Systems. Louisiana State University. Archived from the original on 5 July 2007. Retrieved 10 October 2019.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:ربات:وضعیت نامعلوم پیوند اصلی (link)
Roubicek, T. : "Calculus of variations". Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, شابک ‎۹۷۸−۳−۵۲۷−۴۱۱۸۸−۷, pp. 551–588.
Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).

[3] ازآنجا که حساب معمولی در مورد تغییرات بی‌نهایت کوچک در متغیر توابع بدون تغییر در خود توابع است، حساب تغییرات در مورد تغییرات بی‌نهایت کوچک در خود تابع بوده که به آن تغییرات یا وردش گویند. .^[۲]

[7] "اویلر ابتدا صبر کرد که لاگرانژ موضوع را در ۱۷۶۲ منتشر کند… قبل از این که او رساله اش را… برای چاپ آماده کند، تا از لاگرانژ سوء استفاده نکرده باشد. و در حقیقت روشی که اویلر نام "حساب تغییرات" را بر آن نهاد مختص لاگرانژ بود."^[۴]

[13] See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g. , the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."

[1] «سامانه واژه‌یار». vajeyar.apll.ir. دریافت‌شده در ۲۰۲۳-۰۴-۱۴.

[CourHilb1953P184-2] (Courant و Hilbert 1953، ص. 184)

[GelfandFominP3-4] Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0-486-41448-5.

[Thiele-5] ۴٫۰ ^۴٫۱ Thiele, Rüdiger (2007). "Euler and the Calculus of Variations". In Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (eds.). Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier. p. 249. ISBN 978-0-08-047129-7.

[Goldstine-6] Goldstine, Herman H. (2012). A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Springer Science & Business Media. p. 110. ISBN 978-1-4613-8106-8.

[brunt-8] ۶٫۰ ^۶٫۱ ^۶٫۲ van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 978-0-387-40247-5.

[ferguson-9] ۷٫۰ ^۷٫۱ Ferguson, James (2004). "Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications". arXiv:math/0402357.

[10] Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.

[bellman-11] Bellman, Richard E. (1954). "Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations". Proc. Natl. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. Bibcode:1954PNAS...40..231B. doi:10.1073/pnas.40.4.231. PMC 527981. PMID 16589462.

[12] "Richard E. Bellman Control Heritage Award". American Automatic Control Council. 2004. Archived from the original on 1 October 2018. Retrieved 2013-07-28.

[۱]

[یادداشت ۱]

[۳]

[۴]

[۵]

[یادداشت ۲]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[یادداشت ۳]

[۲]