حساب تغییرات

شاخه‌ای از علم ریاضیات
(تغییرمسیر از حسابان تغییرات)

حساب تغییرات یا حساب وردشی حوزه ای از آنالیز ریاضی است که از وردش (تغییرات) کوچک در توابع و تابعک ها برای یافتن ماکسیمم‌ها و مینیمم‌ها سود می جوید: نگاشت هایی از یک دسته تابع به اعداد حقیقی.[یادداشت ۱] تابعک ها اغلب به صورت انتگرال های معینی بیان می شوند که در آن توابع و مشتقاتشان ظاهر می شوند. توابعی که تابعک ها را ماکسیمم و مینیمم می کنند را می توان در حساب تغییرات توسط معادلات اویلر-لاگرانژ پیدا کرد.

مثالی ساده از چنین مسائلی یافتن خمی با کوتاه ترین طول بین دو نقطه است. اگر هیچ قیدی در کار نباشد، جواب این مسئله خط مستقیم بین آن دو نقطه خواهد بود. با این حال، اگر روی خمی قید بگذاریم که در رویه مورد نظر باقی بماند، آنگاه جواب کمی غیر بدیهی شده و ممکن است هم‌زمان چندین جواب وجود داشته باشد. به چنین راه حل هایی ژئودزی‌ها گویند. مسئله مرتبط دیگری توسط اصل فرما بیان می شود: نور کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه را طی می کند، که طول مسیر آن به مواد فضای پیرامونی اش بستگی دارد. مفهوم مرتبط دیگر در مکانیک اصل کمترین کنش است.

بسیاری از مسائل مهم با توابع چند متغیره سروکار دارند. جواب های مسائل مقدار مرزی برای معادله لاپلاس در اصل دیریکله صدق می کنند. مسئله پلاتو، به دنبال یافتن رویه ای با مساحت مینیمال است به گونه ای که مرزهای آن از یک خم بسته مشخص در فضا عبور کند: راه حل آن اغلب با فرو بردن یک قاب در محلول آب صابون بدست می آید. گرچه چنین آزمایشی را می توان نسبتاً راحت انجام داد، اما تفسیر ریاضی آن ساده نیست: بیش از یک رویه وجود دارند که به طور موضعی کمینه هستند، و ممکن است این رویه ها توپولوژی نابدیهی داشته باشند.

تاریخچهویرایش

می توان گفت که حساب تغییرات از مسئله مقاومت کمینه نیوتون در ۱۶۸۷ آغاز گشت، که به دنبال آن مسئله خم براخیستوکرون (خم کوتاه‌ترین زمان) در ۱۶۹۶ توسط یوهان برنولی مطرح شد.[۲] بلافاصله پس از آن، توجه جیکوب برنولی و مارکوس دو هوپیتال هم جلب شد، اما اولین بار این لئونارد اویلر بود که مسئله را به دقت در ۱۷۳۳ شرح داد. لاگرانژ توسط خدمات قابل توجه اویلر به این مسئله تحت تأثیر قرار گرفت. بعد از این که اویلر کار ۱۷۵۵ لاگرانژ ۱۹ ساله را دید، رهیافت هندسی خود را رها کرده و به رهیافت آنالیز محض لاگرانژ پیوست و موضوع مورد مطالعه را در رساله ۱۷۵۶ خود (Elementa Calculi Variationum) به حساب تغییرات تغییر داد.[۳][۴][یادداشت ۲]

لژاندر در ۱۷۸۶ روشی را بنا نهاد که به منظور تمایز بین مینیمم ها و ماکسیمم ها کاملاً رضایت بخش عمل نمی کرد. از همان اوایل توجه اسحاق نیوتون و گتفرید لایبنیز هم به این موضوع جلب شد.[۵] در میان مشارکت کنندگان به بحث تمایز بین مینیمم ها و ماکسیمم ها این ریاضیدانان به چشم می خورند: وینچنزو بروناچی (۱۸۱۰)، کارل فردریش گاوس (۱۸۲۹)، سیمون پواسون (۱۸۳۱)، میخائیل اوسترگرادسکی (۱۸۳۴) کارل جیکوبی (۱۸۳۷). یکی از کار های عمومی مهم مربوط به ساروس (۱۸۴۲) می شد که توسط کوشی (۱۸۴۴) خلاصه شده و ارتقاء یافت. رسالات و تاریخچه های با ارزشی توسط استراوچ (۱۸۴۹)، جلت (۱۸۵۰)، اتو هسه (۱۸۵۷)، آلفرد کلبش (۱۸۵۸) و کارل (۱۸۸۵) نوشته شده، اما شاید مهم ترین کار قرن نوزدهم مربوط به وایرشتراس باشد. تدریس مشهور او در ارتباط با این نظریه از نظر تاریخی اثرگذار بوده و ممکن است او اولین کسی باشد که این نظریه را بر شالوده ای محکم و غیر قابل انکاری قرار داده باشد. مسائل بیستم و بیست و سوم هیلبرت در ۱۹۰۰ میلادی منتشر شدند و توسعه حساب وردشی را تشویق نمودند.[۵]

در قرن بیستم دیوید هیلبرت، امی نوتر، لئونیدا تونلی، هنری لبگ و جکوئس هادامارد در میان دیگران سهم عمده ای داشتند.[۵] مارستون مورس حساب وردشی را در نظریه ای که اکنون به نام نظریه مورس معروف است به کار برد.[۶] لو پونتریجین، رالف رکافلار و اف. اچ. کلارک ابزار ریاضیاتی نوینی را برای به کار بردن حساب وردشی در نظریه کنترل بهینه توسعه دادند.[۶] برنامه نویسی پویای ریچارد بلمن راهکار جایگزینی برای حساب وردشی در نظریه کنترل است.[۷][۸][۹][یادداشت ۳]

یادداشت‌هاویرایش

  1. ازآنجا که حساب معمولی در مورد تغییرات بی نهایت کوچک در متغیر توابع بدون تغییر در خود توابع است، حساب تغییرات در مورد تغییرات بی نهایت کوچک در خود تابع بوده که به آن تغییرات یا وردش گویند. .[۱]
  2. "اویلر ابتدا صبر کرد که لاگرانژ موضوع را در ۱۷۶۲ منتشر کند... قبل از این که او رساله اش را... برای چاپ آماده کند، تا از لاگرانژ سوء استفاده نکرده باشد. و در حقیقت روشی که اویلر نام "حساب تغییرات" را بر آن نهاد مختص لاگرانژ بود."[۳]
  3. See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."

منابعویرایش

  1. Courant & Hilbert 1953, p. 184
  2. Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A., ed. Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0486414485.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ Thiele, Rüdiger (2007). "Euler and the Calculus of Variations". In Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward. Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier. p. 249. ISBN 9780080471297.
  4. Goldstine, Herman H. (2012). A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Springer Science & Business Media. p. 110. ISBN 9781461381068.
  5. ۵٫۰ ۵٫۱ ۵٫۲ van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 978-0-387-40247-5.
  6. ۶٫۰ ۶٫۱ Ferguson, James (2004). "Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications". arXiv:math/0402357.
  7. Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
  8. Bellman, Richard E. (1954). "Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations". Proc. Natl. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. Bibcode:1954PNAS...40..231B. doi:10.1073/pnas.40.4.231. PMC 527981. PMID 16589462.
  9. "Richard E. Bellman Control Heritage Award". American Automatic Control Council. 2004. Retrieved 2013-07-28.

برای مطالعه بیشترویرایش