روش ژاکوبی

روش ژاکوبی یک روش تکراری در حل دستگاه معادلات خطی است که در جبر خطی مورد بحث قرار می‌گیرد.

معرفی کلیویرایش

در یک دستگاه مربعی با n معادلۀ خطی:

 

که:

 

اگر ماتریس A را به دو ماتریس به شکل زیر تفکیک کنیم:

 

از روش تکرار جواب را می‌توان به شکل زیر یافت:

 

اگر این فرمول را بر اساس المانهایش مرتبط کنیم به این صورت در خواهد آمد:

 

الگوریتمویرایش

حدس اولیه:  
 
تا وقتی که همگرا نشده:
for i := 1 step until n do
 
for j := 1 step until n do
if j ≠ i then
 
end if
پایان حلقه j
 
end (i-loop)
بررسی همگرایی
 

همگراییویرایش

 
 

در روش ژاکوبی گاهی علی‌رغم اینکه شرایط همگرایی برقرار نباشد، جواب همگرا می‌شود.

چند مثالویرایش

مثال۱ویرایش

در   با داشتن مقدار اولیه (حدس اولیه)، جواب را بدست می آوریم.

 

با استفاده از رابطۀ  ، که در بالا توضیح داده شد، به تخمین   می پردازیم تا جواب بدست آید.

با بازنویسی رابطۀ اخیر به فرم ساده‌تر  ،که در آن   و  .

توجه کنید که   که   و   به ترتیب قسمت پایینی و بالایی   هستند.

با استفاده از مقادیر داده شده:

 

we determine   as

 

Further, C is found as

 

With T and C calculated, we estimate   as  :

 

با تکرار بعدی داریم:

 

این فرایند تا جایی که همگرایی مشهود باشد تکرار می‌شود. (به عبارت دقیق تر   کوچک باشد). جواب پس از ۲۵ بار تکرار خواهد بود:

 

مثال۲ویرایش

فرض کنید معادلات زیر را بخواهیم حل کنیم:

 

با انتخاب (0, 0, 0, 0) به عنوان تقریب اولیه:

 

پاسخ‌ها پس از ۵ بار تکرار در جدول زیر آورده شده است:

       
       
       
       
       
       

جواب دقیق (1, 2, −1, 1) است.

حل مثال در پایتونویرایش

import numpy as np

ITERATION_LIMIT = 1000
# initialize the matrix
A = np.array([[10., -1., 2., 0.],
              [-1., 11., -1., 3.],
              [2., -1., 10., -1.],
              [0.0, 3., -1., 8.]])
# initialize the RHS vector
b = np.array([6., 25., -11., 15.])
# prints the system
print("System:")
for i in range(A.shape[0]):
    row = ["{}*x{}".format(A[i, j], j + 1) for j in range(A.shape[1])]
    print(" + ".join(row), "=", b[i])
print()

x = np.zeros_like(b)
for it_count in range(ITERATION_LIMIT):
    print("Current solution:", x)
    x_new = np.zeros_like(x)

    for i in range(A.shape[0]):
        s1 = np.dot(A[i, :i], x[:i])
        s2 = np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:])
        x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]

    if np.allclose(x, x_new, rtol=1e-10):
        break

    x = x_new

print("Solution:")
print(x)
error = np.dot(A, x) - b
print("Error:")
print(error)

خروجی به این شکل خواهد بود:

System:
10.0*x1 + -1.0*x2 + 2.0*x3 + 0.0*x4 = 6.0
-1.0*x1 + 11.0*x2 + -1.0*x3 + 3.0*x4 = 25.0
2.0*x1 + -1.0*x2 + 10.0*x3 + -1.0*x4 = -11.0
0.0*x1 + 3.0*x2 + -1.0*x3 + 8.0*x4 = 15.0

Current solution: [ 0.  0.  0.  0.]
Current solution: [ 0.6         2.27272727 -1.1         1.875     ]
Current solution: [ 1.04727273  1.71590909 -0.80522727  0.88522727]
Current solution: [ 0.93263636  2.05330579 -1.04934091  1.13088068]
Current solution: [ 1.01519876  1.95369576 -0.96810863  0.97384272]
Current solution: [ 0.9889913   2.01141473 -1.0102859   1.02135051]
Current solution: [ 1.00319865  1.99224126 -0.99452174  0.99443374]
Current solution: [ 0.99812847  2.00230688 -1.00197223  1.00359431]
Current solution: [ 1.00062513  1.9986703  -0.99903558  0.99888839]
Current solution: [ 0.99967415  2.00044767 -1.00036916  1.00061919]
Current solution: [ 1.0001186   1.99976795 -0.99982814  0.99978598]
Current solution: [ 0.99994242  2.00008477 -1.00006833  1.0001085 ]
Current solution: [ 1.00002214  1.99995896 -0.99996916  0.99995967]
Current solution: [ 0.99998973  2.00001582 -1.00001257  1.00001924]
Current solution: [ 1.00000409  1.99999268 -0.99999444  0.9999925 ]
Current solution: [ 0.99999816  2.00000292 -1.0000023   1.00000344]
Current solution: [ 1.00000075  1.99999868 -0.99999899  0.99999862]
Current solution: [ 0.99999967  2.00000054 -1.00000042  1.00000062]
Current solution: [ 1.00000014  1.99999976 -0.99999982  0.99999975]
Current solution: [ 0.99999994  2.0000001  -1.00000008  1.00000011]
Current solution: [ 1.00000003  1.99999996 -0.99999997  0.99999995]
Current solution: [ 0.99999999  2.00000002 -1.00000001  1.00000002]
Current solution: [ 1.          1.99999999 -0.99999999  0.99999999]
Current solution: [ 1.  2. -1.  1.]
Solution:
[ 1.  2. -1.  1.]
Error:
[ -2.81440107e-08   5.15706873e-08  -3.63466359e-08   4.17092547e-08]

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش