عدد کوانتومی خوب

در مکانیک کوانتومی، با فرض هامیلتونین $H$ و داشتن عملگر $\Omega$ با ویژه‌بردارها و ویژه‌مقدارهای $\Omega |q_{j}\rangle =q_{j}|q_{j}\rangle$، عددهای $q_{j}$ را عدد کوانتومی خوب می‌نامند اگر هر ویژه‌بردار $|q_{j}\rangle$ با گذشت زمان یک ویژه‌بردار عملگر $\Omega$ با همان ویژه‌مقدار باقی بماند.

توضیح ریاضی

اگر $\Omega |q_{j}\rangle =\Omega \sum _{k}c_{k}(0)|e_{k}\rangle =q_{j}|q_{j}\rangle$، (که $e_{k}$ ویژه‌مقادیر هامیلتونین هستند) لازم است برای همه‌ی ویژه‌بردارهای $|q_{j}\rangle$ داشته باشیم:

$\Omega \sum _{k}c_{k}(0)\exp(-ie_{k}t/\hbar )\,|e_{k}\rangle =q_{j}\sum _{k}c_{k}(0)\exp(-ie_{k}t/\hbar )\,|e_{k}\rangle$

تا عدد $q$ یک عدد کوانتومی خوب باشد.

قضیه: شرط لازم و کافی برای اینکه عدد q که یک ویژه‌مقدار عملگر $\Omega$ است خوب باشد، آن است که $[\Omega ,\,H]=0$ .

برهان: فرض کنیم $[\Omega ,\,H]=0$ . اگر $|\psi _{0}\rangle$ یک ویژه‌بردار $\Omega$ باشد طبق تعریف داریم $\Omega |\psi _{0}\rangle =q_{j}|\psi _{0}\rangle$ . سپس:

$\Omega |\psi _{t}\rangle =\Omega \,T(t)\,|\psi _{0}\rangle$

$=\Omega e^{-itH/\hbar }|\psi _{0}\rangle$

$=\Omega \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-iHt/\hbar )^{n}|\psi _{0}\rangle$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-iHt/\hbar )^{n}\Omega |\psi _{0}\rangle$

$=q_{j}|\psi _{t}\rangle .\quad \square$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Good Quantum Number». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱/۸/۲۰۱۷.