قانون زنجیره ای برای پیشامدها
ویرایش
قانون زنجیره ای برای دو پیشامد تصادفی
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
⋅
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)}
این قانون در مثال زیر شرح داده شده است.
توپ‌های موجود در سطل‌ها سطل 1 دارای 1 توپ سیاه و 2 توپ سفید و سطل 2 دارای 1 توپ سیاه و 3 توپ سفید می‌باشد. فرض کنید یک سطل را به طور تصادفی انتخاب کرده و سپس یک توپ از آن سطل بر می‌داریم. پیشامد
A
{\displaystyle A}
P
(
A
)
=
P
(
A
¯
)
=
1
/
2
{\displaystyle P(A)=P({\overline {A}})=1/2}
B
{\displaystyle B}
P
(
B
|
A
)
=
2
/
3
{\displaystyle P(B|A)=2/3}
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
P
(
A
)
=
2
/
3
×
1
/
2
=
1
/
3
{\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)=2/3\times 1/2=1/3}
بیش از دو پیشامد
ویرایش
برای رویداد‌های
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
P
(
A
n
∩
…
∩
A
1
)
=
P
(
A
n
|
A
n
−
1
∩
…
∩
A
1
)
⋅
P
(
A
n
−
1
∩
…
∩
A
1
)
{\displaystyle \mathrm {P} (A_{n}\cap \ldots \cap A_{1})=\mathrm {P} (A_{n}|A_{n-1}\cap \ldots \cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{n-1}\cap \ldots \cap A_{1})}
که می‌توان با استفاده از استقرا آنرا به شکل زیر نوشت
P
(
A
n
∩
…
∩
A
1
)
=
∏
k
=
1
n
P
(
A
k
|
⋂
j
=
1
k
−
1
A
j
)
{\displaystyle \mathrm {P} (A_{n}\cap \ldots \cap A_{1})=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right)}
برای چهار پیشامد (
n
=
4
{\displaystyle n=4}
P
(
A
1
∩
A
2
∩
A
3
∩
A
4
)
=
P
(
A
4
∣
A
3
∩
A
2
∩
A
1
)
⋅
P
(
A
3
∩
A
2
∩
A
1
)
=
P
(
A
4
∣
A
3
∩
A
2
∩
A
1
)
⋅
P
(
A
3
∣
A
2
∩
A
1
)
⋅
P
(
A
2
∩
A
1
)
=
P
(
A
4
∣
A
3
∩
A
2
∩
A
1
)
⋅
P
(
A
3
∣
A
2
∩
A
1
)
⋅
P
(
A
2
∣
A
1
)
⋅
P
(
A
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\mid A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{1})\end{aligned}}}
در کارخانه‌ای 200 لامپ تولید شده است که 10 تا از این لامپ ها معیوب هستند. 4 لامپ به تصادف از این 200 لامپ انتخاب می کنیم. چقدر احتمال دارد که همه لامپ ها سالم باشند؟
پیشامد (
A
i
{\displaystyle A_{i}}
i
{\displaystyle i}
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle i=1,2,3,4}
P
(
A
1
∩
A
2
∩
A
3
∩
A
4
)
{\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})}
P
(
A
1
)
=
190
200
{\displaystyle P(A_{1})={\frac {190}{200}}}
اگر بدانیم اولین لامپ سالم بوده است، دومین لامپ از میان 189 لامپ سالم و 10 لامپ معیوب انتخاب می‌شود بنابراین
P
(
A
2
∣
A
1
)
=
189
199
{\displaystyle P(A_{2}\mid A_{1})={\frac {189}{199}}}
اگر بدانیم اولین و دومین لامپ سالم بوده است، سومین لامپ باید از میان 188 لامپ سالم و 10 لامپ معیوب انتخاب شود بنابراین
P
(
A
3
∣
A
2
∩
A
1
)
=
188
198
{\displaystyle P(A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})={\frac {188}{198}}}
به همین ترتیب برای لامپ چهارم داریم:
P
(
A
4
∣
A
3
∩
A
2
∩
A
1
)
=
187
197
{\displaystyle P(A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})={\frac {187}{197}}}
بنابراین برای محاسبه مقدار نهایی داریم:
P
(
A
1
∩
A
2
∩
A
3
∩
A
4
)
=
P
(
A
4
∣
A
3
∩
A
2
∩
A
1
)
P
(
A
3
∣
A
2
∩
A
1
)
P
(
A
2
∣
A
1
)
P
(
A
1
)
=
190
200
189
199
188
198
187
197
{\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})=P(A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})P(A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})P(A_{2}\mid A_{1})P(A_{1})={\frac {190}{200}}{\frac {189}{199}}{\frac {188}{198}}{\frac {187}{197}}}
قانون زنجیره ای برای متغیرهای تصادفی
ویرایش
دو متغیر تصادفی
ویرایش
برای دو متغیر تصادفی
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
P
(
X
,
Y
)
=
P
(
X
∣
Y
)
⋅
P
(
Y
)
{\displaystyle \mathrm {P} (X,Y)=\mathrm {P} (X\mid Y)\cdot P(Y)}
بیش از دو متغیر تصادفی
ویرایش
متغیرهای تصادفی
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
P
(
X
n
,
…
,
X
1
)
=
P
(
X
n
|
X
n
−
1
,
…
,
X
1
)
⋅
P
(
X
n
−
1
,
…
,
X
1
)
{\displaystyle \mathrm {P} (X_{n},\ldots ,X_{1})=\mathrm {P} (X_{n}|X_{n-1},\ldots ,X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{n-1},\ldots ,X_{1})}
اگر این فرایند را برای عبارت آخر تکرار کنیم نتیجه زیر به دست می‌آید:
P
(
⋂
k
=
1
n
X
k
)
=
∏
k
=
1
n
P
(
X
k
|
⋂
j
=
1
k
−
1
X
j
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left(\bigcap _{k=1}^{n}X_{k}\right)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(X_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}X_{j}\right)}
برای چهار متغیر تصادفی (
n
=
4
{\displaystyle n=4}
P
(
X
4
,
X
3
,
X
2
,
X
1
)
=
P
(
X
4
∣
X
3
,
X
2
,
X
1
)
⋅
P
(
X
3
,
X
2
,
X
1
)
=
P
(
X
4
∣
X
3
,
X
2
,
X
1
)
⋅
P
(
X
3
∣
X
2
,
X
1
)
⋅
P
(
X
2
,
X
1
)
=
P
(
X
4
∣
X
3
,
X
2
,
X
1
)
⋅
P
(
X
3
∣
X
2
,
X
1
)
⋅
P
(
X
2
∣
X
1
)
⋅
P
(
X
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (X_{4},X_{3},X_{2},X_{1})&=\mathrm {P} (X_{4}\mid X_{3},X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{3},X_{2},X_{1})\\&=\mathrm {P} (X_{4}\mid X_{3},X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{3}\mid X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2},X_{1})\\&=\mathrm {P} (X_{4}\mid X_{3},X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{3}\mid X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2}\mid X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{1})\end{aligned}}}
پانویسها و منابع
ویرایش
