هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته[a,b] پیوسته و در (a,b) مشتقپذیر باشند و
g
′
(
x
)
{\displaystyle g^{\prime }(x)}
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
ابتدا تابع h را به شکل زیر تعریف میکنیم که تمام خواص تابع f را نیز دارد :
h(x)=f(x)-k g(x)
حال اگر k را برابر
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
h
(
a
)
=
f
(
a
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
−
f
(
b
)
g
(
a
)
+
f
(
a
)
g
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle h(a)={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}}
h
(
b
)
=
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
b
)
g
(
a
)
−
f
(
b
)
g
(
b
)
+
f
(
a
)
g
(
b
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle h(b)={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}}
پس
h
(
a
)
=
h
(
b
)
{\displaystyle h(a)=h(b)}
قضیه رول وجود دارد c متعلق به بازه (a,b) که
h
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle h^{\prime }(c)=0}
f
′
(
c
)
=
k
g
′
(
c
)
⇒
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
k
{\displaystyle f^{\prime }(c)=kg^{\prime }(c)\Rightarrow \ {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}=k}
که با قرار دادن مقدار k داریم :
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
