مختصات یاکوبی

در تئوری سیستم های ذره ای ، مختصات یاکوبی اغلب برای ساده سازی فرمول ریاضی استفاده می شوند. این مختصات به ویژه در مولکولهای چند اتمی و واکنشهای شیمیایی ، و در مکانیک سماوی رایج است. یک الگو برای تولید مختصات یاکوبی برای N جسم ممکن است بر پایه درخت دودویی باشد. در کلمات ، الگو به شرح زیر است:

یاکوبی برای مسئله دو جسم هماهنگی می کند .${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$ و ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ با $M=m_{1}+m_{2}$ .

بگذارید m _j و m _k جرم دو جسم باشند که جسم جدیدی از جرم مجازی M = m _j + m _k جایگزین می شوند. مختصات موقعیت x _j و x _k با موقعیت نسبی آنها r _jk = x _j جایگزین می شوند   −   x _k و توسط بردار به مرکز جرم آنها R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k ) / ( m _j + m _k ). گره موجود در درخت دودویی که مربوط به جسم مجازی است m _{j را} به عنوان فرزند راست خود و m _k به عنوان فرزند چپ خود قرار داده است. منظور از کودکان نشان دهنده نسبی مختصات نقاط از x _K به x _J. مرحله بالا را برای N تکرار کنید   −   ۱ جسم ، یعنی ن   −   ۲ جسم اصلی به همراه جسم مجازی جدید.

مجموعه احتمالی مختصات یاکوبی برای مشکل چهار جسم. مختصات یاکوبی r _۱ ، r _۲ ، r _۳ و مرکز جرم R است .

برای مشکل بدن - ان نتیجه این است:

${\boldsymbol {r_{j}}}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ -\ {\boldsymbol {x_{j+1}}}\,\quad (j=1,2,\dots ,N-1)$

${\boldsymbol {r_{N}}}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\,$

با

$m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .$

بردار ${\boldsymbol {r_{N}}}$ مرکز جرم جسم است:

نتیجه ای که با آن باقی مانده است ، بنابراین یک سیستم از مختصات N -۱ به طور ترجمه ای بی تحرک است ${\boldsymbol {r_{1}}},\dots ,{\boldsymbol {r_{N-1}}}$ و یک مرکز هماهنگی جمعی ${\boldsymbol {r_{N}}}$ ، از تکرار سیستمهای دو جسم در سیستم چند جسمی.