مدول یکدست

در جبر همولوژی و هندسه جبری، یک مدول یکدست (به انگلیسی: Flat Module) روی حلقه ای چون $R$ یک $R$-مدول $M$ است چنان که ضرب تانسور گیری از $M$ روی $R$ دقیق بودن دنباله ها را حفظ می کند. یک مدول را یکدست وفادار (به انگلیسی: Faithfully Flat) گویند اگر با ضرب تانسور گیری از یک دنباله، دنباله دقیقی تولید شود اگر و تنها اگر دنباله اولیه خود دقیق باشد.

خاصیت یکدست بودن توسط سره (۱۹۵۶) در مقاله اش با عنوان هندسه جبری و هندسه تحلیلی معرفی شد.

تعریف

یک مدول $M$ روی حلقه ای چون $R$ را یکدست گویند اگر شرط ذیل ارضاء شود: برای هر نگاشت تزریقی (یک به یک) چون $\phi :K\to L$ بین $R$-مدول های $K$ و $K$، نگاشت:

$K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M$

با ضابطه $k\otimes m\mapsto \phi (k)\otimes m$ نیز یک به یک باشد.

به بیان دیگر، برای $R$-مدول های $K$ و $L$ اگر $0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0$ یک دنباله دقیق باشد آنگاه $M$ مدول یکدست روی $R$ است اگر $0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0$ نیز دنباله ای دقیق باشد.

همچنی این تعریف زمانی که $R$ لزوماً یک حلقه جابجایی نبوده و $M$ یک $R$-مدول و $K$ و $L$ دو $R$-مدول راست باشند نیز قابل اعمال کردن است. تنها تفاوتشان این است که $K\otimes _{R}M$ و $L\otimes _{R}M$ در حالت کلی $R$-مدول نیستند، بلکه صرفاً گروه های آبلی می باشند.

منابع

• Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF).
• Bican, L.; El Bashir, R.; Enochs, E. (2001), "All modules have flat covers", Bull. London Math. Soc., 33 (4): 385–390, doi:10.1017/S0024609301008104, ISSN 0024-6093, MR 1832549
• N. Bourbaki, Commutative Algebra
• Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society, 97: 457–473, doi:10.2307/1993382, MR 0120260
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960, شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۹۴۲۶۹−۸
• Enochs, Edgar E. (1981), "Injective and flat covers, envelopes and resolvents", Israel J. Math., 39 (3): 189–209, doi:10.1007/BF02760849, ISSN 0021-2172, MR 0636889
• Enochs, Edgar E.; Jenda, Overtoun M. G. (2000), Relative homological algebra, de Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 30, Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi:10.1515/9783110803662, ISBN 978-3-11-016633-0, MR 1753146
• Kunz, Ernst (1969), "Characterizations of regular local rings of characteristic p", American Journal of Mathematics, 91: 772–784, doi:10.2307/2373351, MR 0252389
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Lazard, D. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France, 97: 81–128
• Mac Lane, Saunders (1963), Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press, MR 0156879
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra
• Matsumura, Hideyuki (1986). Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. MR 0879273. Zbl 0603.13001.
• Mumford, David, The red book of varieties and schemes
• Northcott, D. G. (1984), Multilinear algebra, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-26269-9 - page 33
• Richman, Fred (1997), "Flat dimension, constructivity, and the Hilbert syzygy theorem", New Zealand Journal of Mathematics, 26 (2): 263–273, ISSN 1171-6096, MR 1601663
• Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Annales de l'Institut Fourier, 6: 1–42, doi:10.5802/aif.59, ISSN 0373-0956, MR 0082175

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Flat Module». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.