مرتبه ضربی

مرتبهٔ عدد $\;a$ در مبنای عدد $\;n$ به صورت $\;ord_{n}a$ (اُردر $\;a$ در مبنای $\;n$) نشان داده می‌شود و برابر است با کوچکترین عدد طبیعی $\;d$ است که $a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}$. اما دقت شود که مرتبه تنها هنگامی قابل تعریف است که $\;a$ و $\;n$ نسبت به هم اول باشند.

مثال

$\;ord{}_{7}2=3\quad$

زیرا

$2^{3}\equiv 1{\pmod {7}}\quad$

در حالی که

$2^{1}\not \equiv 1{\pmod {7}}$

$2^{2}\not \equiv 1{\pmod {7}}$

قضایای مرتبط

در قضایای زیر فرض شده است $\;(a,n)=1$

• اگر $a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ آنگاه حتماً $\mathrm {ord} _{n}a\mid m$
• اگر $\varphi (n)$ تابع فی اویلر باشد، آنگاه $ord_{n}a\mid \varphi (n)$
• اگر قرار دهیم $\;d=ord_{n}a$ آنگاه اعداد $\;a^{0},a^{1},a^{2},a^{3},...,a^{d-1}$ دو به دو به پیمانه $\;n$ متمایز خواهند بود.