مکان ریشه‌ها

مکان ریشه‌ها (انگلیسی: Root locus) روشی برای کنترل و بررسی پایداری سیستم‌ها در مهندسی کنترل است. این روش، یک روش ترسیمی برای رسم مکان هندسی ریشه‌های یک سیستم کنترلی است و با استفاده از صفر و قطب‌های سیستم حلقه باز می‌تواند پایداری سیستم حلقه بسته را بررسی کند.

RL =مکان هندسی برای k>0 (آبی رنگ) ; ZARL = مکان هندسی برای k<0 (سبز رنگ)

تعریف

سیستم فیدبک دار زیر را در نظر بگیرید؛

تابع تبدیل حلقه-بسته به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$

که در آن، $G(s)H(s)$ را می‌توان به صورت کلی زیر نوشت:

$G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}$

معمولاً روش کار به این صورت است که با استفاده از شرط زاویه مکان رسم می‌شود و با استفاده از شرط اندازه، مقدار K تعیین می‌شود.

شرط زاویه

شرط زاویه بیان می‌کند که:

$\angle (G(s)H(s))=\pi$

در نتیجه می‌توان شرط زیر را برای K اعمال کرد:

$\sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi$

شرط اندازه

شرط اندازه بیان می‌کند که:

$|G(s)H(s)|=1$

در نتیجه می‌توان شرط زیر را برای K اعمال کرد:

$K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1$.

جستارهای وابسته

• حاشیه فاز
• معیار پایداری نایکوئیست
• نمودار بود

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Root locus». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۲ مه ۲۰۱۶.

پیوند به بیرون

• Wikibooks: Control Systems/Root Locus
• Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial
• Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page
• The root-locus method: Drawing by hand techniques
• "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms
• "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows
• Root Locus at ControlTheoryPro.com
• Root Locus Analysis of Control Systems
• MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model
• Wechsler, E. R. (January–March 1983), Root Locus Algorithms for Programmable Pocket Calculators (PDF), NASA, pp. 60–64, TDA Progress Report 42-73, archived from the original (PDF) on 24 December 2016, retrieved 12 May 2016
• Mathematica function for plotting the root locus