همسایگی (ریاضیات)

در توپولوژی، یک همسایگی (به انگلیسی: neighbourhood) یکی از مفاهیم اساسی در فضاهای توپولوژیک است. همسایگی یک نقطه، یک مجموعه شامل آن نقطه است.

گردهٔ دور نقطهٔ p یک همسایگی از آن است.

تعریف

فرض می کنیم p یک نقطه از فضای متری X باشد.

یک همسایگی نقطهٔ p با شعاع r، مجموعه ای است مثل (N_r(p شامل تمام نقاطی چون q که d(p،q)<r.

$N_{r}(p)=\{q\in X\;|\;d(p,q)<r\}$

همسایگی محذوف

یک همسایگی محذوف نقطه c، همان همسایگی نقطه c می‌باشد به گونه‌ای که خود نقطۀ c از مجموعه مورد نظر حذف می‌شود.

تعریف

فرض کنید c یک نقطه از فضای متریک (X,d) باشد.

مجموعه همسایگی محذوف نقطه c با شعاع r به صورت زیر می‌باشد:

${\underset {r}{N(c)}}=\{q\in X\mid 0<d(q,c)<r\}$

نمونه

مجموعه همسایگی محذوف نقطه صفر در فضای اعداد حقیقی و متر اقلیدسی با شعاع یک به صورت زیر می‌باشد:

${\underset {1}{N{\bigl (}0{\bigr )}}}=\{q\in R\mid 0<\left\vert q-0\right\vert <1\}={\bigl (}-1,1{\bigr )}\backslash \{0\}$

منابع

(http://en.wikipedia.org/wiki/Neighborhood_(topology