فضای توپولوژی: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ربات: حذف از رده:ویکی‌سازی رباتیک |
بدون خلاصۀ ویرایش برچسب: افزودن پیوند بیرونی به جای ویکی‌پیوند (پخ) |
||
خط ۱:
[[پرونده:Topological space examples.svg|frame|چپ|300px|چهار نمونه از توپولوژی روی مجموعه سه تایی {1,2,3} و دو نمونه غیرتوپولوژی روی مجموعه سه تایی {1,2,3}]]▼
'''فضای توپولوژیک''' {{انگلیسی|Topological space}} مبحثی در ریاضیات است. در [[توپولوژی]] و شاخه‌های مربوط به آن در [[ریاضیات]]، یک '''فضای توپولوژیک''' یک مجموعه از [[نقطه (هندسه)|نقاط]] است، همراه با مجموعه‌ای از [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی‌ها]] برای هر نقطه، که از مجموعه‌ای از اصول که نقاط را به همسایه‌ها مرتبط می‌کنند، پیروی می‌کند. تعریف فضای توپولوژیک بر [[نظریه مجموعه‌ها]] استوار است و عمومی‌ترین مفهوم برای فضاهای ریاضی است که اجازه می‌دهد بتوان مفاهیمی مانند [[تابع پیوسته|پیوستگی]]، حد دنباله‌ها و [[فضای همبند]] را تعریف کرد. دیگر فضاها، [[خمینه]]ها و [[فضای متریک|فضاهای متریک]]، حالت‌های خاص شده‌ای از فضای توپولوژیک با ساختارهای اضافه‌تر یا محدودتر هستند. شاخه‌ای از ریاضیات که فضای توپولوژیک را به عنوان اصول پایه خود مورد مطالعه قرار می‌دهد، [[توپولوژی عمومی]] نام دارد.
بنا به تعریف مجموعه <math>X</math> به همراه گردایه از زیرمجموعه‌های <math>X</math> را یک فضای توپولوژیکی گویند هرگاه:▼
==تعریف==
سودمندی مفهوم یک توپولوژی، با این حقیقت نشان داده می‌شود که چندین تعریف معادل برای این ساختار وجود دارد. بنابراین هر یک از آنها می‌تواند به عنوان چند اصل طبقه‌بندی شده برای یک کاربرد خاص یا آنچه مورد نیاز است، انتخاب شود. پراستفاده‌ترین و ظریف‌ترین این تعاریف، تعریف با استفاده از [[مجموعه باز|مجموعه‌های باز]] است. اما قابل‌درک ترین آنها، تعریف با همسایگی هاست.
===تعریف با همسایگی===
فرض کنید ''X'' یک مجموعه باشد. اعضای ''X'' معمولا ''نقاط'' نامیده می‌شوند هرچند که می‌توانند هر شئ ریاضی دیگر باشند. همچنین ''X'' می‌تواند تهی باشد. فرض کنید '''N''' یک [[تابع]] باشد که هر ''x'' (نقطه) از ''X'' را به یک گردایه ناتهی ('''N'''(''x'' از زیرمجموعه‌های ''X'' نسبت دهد. اعضای ('''N'''(''x'' همسایه‌های ''x'' نامیده می‌شود. تابع '''N''' [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] نامیده می‌شود اگر از چهار اصل زیر پیروی کند؛ آن‌گاه ''X'' با '''N''' یک '''فضای توپولوژیک''' نامیده می‌شود. فضای توپولوژیکی که در آن نقاط همان توابع باشند،یک فضای تابعی نام دارد.
#اگر ''N'' یک همسایگی ''x'' باشد (یعنی (''N'' ∈ '''N'''(''x'' )، آن‌گاه ''x'' ∈ ''N'' باشد. به عبارت دیگر،هر نقطه به هر یک از همسایگی‌های خود تعلق دارد باشد.
#اگر ''N'' زیر مجموعه‌ای از ''X'' و شامل همیاسگی‌های ''x'' باشد، آن‌گاه ''N'' یک همسایگی ''x'' باشد. یعنی هر فرامجموعه از یک همسایگی نقطه ''x'' در ''X'' خود یک همسایگی برای ''x'' باشد.
#[[اشتراک]] هر دو همسایگی از ''x''، خود یک همسایگی از ''x'' باشد.
#هر همسایگی ''N'' از ''x'' شامل همسایگی ''M'' از ''x'' است به طوری که ''N'' یک همسایگی برای هر نقطه از ''M'' باشد.
سه اصل ابتدایی مفهوم روشنی دارند. اصل چهارم استفاده خیلی مهمی در ساختار این تئوری دارد، که همان ارتباط بین همسایگی‌های مختلف یک نقطه است.
مثال استاندارد برای سیستم همسایگی‌ها خط اعداد حقیقی است که در آن زیر مجموعه ''N'' از '''R''' یک ''همسایگی'' از عدد حقیقی ''x'' است، اگر یک بازه‌ی باز وجود داشته باشد که نقطه ''x'' را شامل شود و نیز مشمول ''N'' باشد.
===تعریف با مجموعه‌های باز===
▲[[پرونده:Topological space examples.svg|frame|چپ|300px|چهار نمونه از توپولوژی روی مجموعه سه تایی {1,2,3} و دو نمونه غیرتوپولوژی روی مجموعه سه تایی {1,2,3}]]
▲بنا به تعریف مجموعه <math>X</math> به همراه گردایه از زیرمجموعه‌های باز <math>
# اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو <math>\mathcal{T}</math> در <math>\mathcal{T}</math> قرار داشته باشد؛
# اشتراک هر تعداد متناهی مجموعه عضو <math>\mathcal{T}</math> در
# مجموعه‌های تهی و <math>X</math>، عضو <math>\mathcal{T}</math> باشند؛
همچنین <math>\mathcal{T}</math> می‌تواند به جای [[مجموعه باز|مجموعه‌های باز]] به صورت [[مجموعه بسته|مجموعه‌های بسته]] تعریف شود. در اینصورت اصل اول و دوم به صورت زیر تغییر خواهد کرد:
#اجتماع هر تعداد متناهی از مجموعه‌های عضو <math>\mathcal{T}</math> باز هم در <math>\mathcal{T}</math> قرار گیرد.
#اشتراک هر تعداد دلخواه از مجموعه‌های عضو <math>\mathcal{T}</math> باز هم در <math>\mathcal{T}</math> قرار گیرد.
گردایهٔ <math>\mathcal{T}</math>، توپولوژی تعریف شده روی <math>X</math> نام دارد. همچنین، اعضای توپولوژی <math>\mathcal{T}</math>، [[مجموعه‌های باز]] در <math>X</math>، و متمم آنها، مجموعه‌های بسته در <math>X</math> هستند. اگر <math>X</math> یک فضای توپولوژیکی باشد، آن‌گاه به اعضای آن ''نقطه'' گفته می‌شود. اگر <math>x</math> عضوی از یک [[مجموعهٔ باز]] مانند <math>U</math> باشد، آن‌گاه به <math>U</math>، "یک همسایگی از <math>x</math>" نیز گفته می‌شود.
===مثال===
# {۱،۲،۳،۴} = ''X'' و گردایه { {۱.۲.۳.۴} ، {} } = ''T''. شامل حداقل زیرمجموعه‌هایی که برای یک توپولوژی لازم است، [[توپولوژی بدیهی]] (توپولوژی ناگسسته)
# {۱،۲،۳،۴} = ''X'' و گردایه { {۱،۲،۳،۴} ، {۱،۲،۳} ، {۲،۳} ، {۱،۲} ، {۲} ، {} } = ''T''.
# {۱،۲،۳،۴} = ''X'' و (''P''(''X'' (مجموعه توانی ''X''). که یک [[فضای گسسته|توپولوژی گسسته]] است.
#'''X'' = '''Z'' مجموعه اعداد صحیح. گردایه ''T'' برابر با همه زیرمجموعه‌های متناهی اعداد صحیح مثبت خودش یک توپولوژی نیست. زیرا برای مثال اجتماع تمام زیر مجموعه‌های متناهی که شامل صفر نیستند، نامتناهی است و همه‌ی '''Z''' نیست بنابراین در ''T'' قرار نمی‌گیرد.
===تعاریف دیگر===
راه‌های معادل بسیار دیگری برای تعریف یک فضای توپولوژیک وجود دارد. به عبارت دیگر مفهوم همسایگی، مجموعه باز (همچنین بسته) می‌توانند از نقاط شروع دیگر بازسازی شوند و اصول را پیرو باشند.
یکی دیگر از راه‌های تعریف فضای توپولوژیک تعریف با استفاده از [[اصول بستار کوراتوسکی]] است، که مجموعه‌های بسته را [[نقطه ثابت (ریاضیات)|نقاط ثابت]] عملگری روی [[مجموعه توانی]] مجموعه ''X'' تعریف می‌کند.
==مقایسه توپولوژی‌ها==
وقتی هر مجموعه در توپولوژی <T<sub>۱</sub در توپولوژی <T<sub>۲</sub نیز باشد و <T<sub>۱</sub یک زیرمجموعه از <T<sub>۲</sub باشد، گوییم <T<sub>۲</sub ظریف‌تر از <T<sub>۱</sub است و <T<sub>۱</sub زمخت‌تر از <T<sub>۲</sub است.
== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد|کتاب=توپولوژی عمومی (رشت‍ه ریاضی)|نویسنده=علی‌رضا جمالی|سال=۱۳۸۲|ناشر=انتشارات دانشگاه پیام نور|شابک=ISBN 964-455-182-6}}
* {{یادکرد ویکی|عنوان =Topological space |پیوند =http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space |زبان =انگلیسی| بازیابی =۲۴ اسفند ۱۳۹۲}}
*http://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html
== جستارهای وابسته ==
* [[توپولوژی]]
| |||