پارادوکس برتراند: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
بدون خلاصۀ ویرایش |
جز ربات ردهٔ همسنگ (۲۶) +نشانی+املا+مرتب+تمیز (۸.۸): + رده:پارادوکسهای نظریه احتمال |
||
خط ۱:
'''پارادوکس برتراند'''
پارادوکس برتراند یکی از مسائل احتمالاتی است که جوزفبرتراند([[Joseph Bertrand]]) در سال 1889
احتمال اینکه طول وتری تصادفی از یک دایره، بزرگتر از طول ضلع مثلثمتساویالاضلاع محاط در آن دایره باشد، چقدر است؟
شاید در نگاه اول تناقضی بهنظر نرسد اما وقتی دقیق شویم متوجه میشویم که درواقع تناقض از آنجا ناشی میشود که چگونه این وتر تصادفی را انتخاب کنیم.
# [[
== استراتژیاول ==
باتوجه به تقارن برای رسم یک وتر تصادفی میتوان ابتدا دو نقطهی تصادفی روی محیط دایره انتخاب میکنیم و آنها را بههم
# [[
== استراتژیدوم ==
باتوجه به تقارن برای رسم یک وتر تصادفی نقطهای تصادفی روی محیط دایره انتخاب کرده و آن را به مرکز دایره وصل میکنیم. به این طریق توانستهایم یک شعاع تصادفی از دایره انتخاب کنیم. سپس نقطهای تصادفی از روی این شعاع انتخاب میکنیم. وتری وجود دارد که این شعاع در این نقطه عمودمنصف آن است و این وتر وقتی و تنها وقتی از ضلع مثلث متساویالاضلاع بزرگتر است که نقطهای که به تصادف روی شعاع انتخاب کرده بودیم، فاصلهاش تا مرکز کمتر از نصف شعاع باشد. لذا احتمال مورد نظر در این استراتژی به انتخاب نقطهای تصادفی روی بازهی یکنواخت
(
خط ۱۴:
0)
محدود میشود بطوریکه در بازهی (r/2,0) قرار گیرد. پس احتمال موردنظر برابر است با 1/2.
# [[
== استراتژیسوم ==
چون هر وتر از دایره عمود بر شعاعی از دایره است که از نقطهی وسط آن به مرکز دایره وصل میشود لذا هر وتر بهطور یکتا بهوسیلهی نقطهی میانی آن وتر مشخص میشود. برای رسم یک وتر تصادفی نقطهای تصادفی داخل دایره انتخاب میکنیم و به مرکز دایره وصل میکنیم. سپس وتر عمود بر این خط در نقطهی انتخابی را رسم میکنیم. واضح است که این وتر وقتی و تنها وقتی بزرگتر از طول ضلع مثلث متساویالاضلاع محاط در دایره است که نقطهی وسط آن(یعنی همان نقطهی تصادفی که درون دایره انتخاب کردیم) درون دایرهای قرار بگیرد که هممرکز با دایره اولیه است و شعاعش نصف شعاع آن است. چون با انتخاب هر نقطه بهطور یکتا یک وتر تعیین میشود، لذا احتمال موردنظر برابر است با خارجقسمت مساحت دایرهی کوچک به مساحت دایرهی اصلی. بنابراین احتمال پیشامد موردنظر برابراست با 1/4.
{{
همانطور که دیدید سه تعبیر مختلف برای وتر تصادفی منتهی به سه جواب مختلف برای مسئله شد. به این دلیل مسئله برتراند ابتدا بهنظر یک پارادوکس میآمد. در آن زمان کسی به این واقعیت دقت نکرد که سه تعبیر مختلف درواقع متناظر با سه آزمایش مختلف برای انتخاب یک وتر تصادفی است. دراین
== منابع ==
{{ویکیانبار-رده|Bertrand paradox (probability)}}
{{یادکرد|نویسنده = saeed_ghahramani |
عنوان = Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition}}
* {{یادکرد وب| نشانی = http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_
{{پانویس}}
شرارهعزتنژاد دانشجوی علومکامپیوتر دانشگاهصنعتیشریف
[[en:Bertrand paradox (probability)]]▼
[[رده:احتمالات]]
[[رده:پارادوکسهای نظریه احتمال]]
▲[[en:Bertrand paradox (probability)]]
|