نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
خط ۱۰:
از قرن ۵ قبل از میلاد، از زمان [[ریاضیدان یونانی]] [[زنون الئایی]] در غرب و [[ریاضیدانان هندی]] در شرق، ریاضیدانان با مفهوم [[بی‌نهایت]] در کشمکش بوده‌اند. بخصوص یکی از کارهای قابل توجه کار [[برنارد بولتزانو]] در نیمه اول قرن ۱۹ است. درک مدرن از بی‌نهایت با کار کانتور روی نظریه اعداد در ۱۸۷۱-۱۸۶۷ شروع شد. یک ملاقات بین کانتور و [[ریچارد ددکیند]] در سال ۱۸۷۲ تفکر کانتور را تحت تاثیر قرار داد و در مقاله ۱۸۷۴ کانتور به اوج خود رسید.
کار کانتور به دو قطبی شدن ریاضیدانان آن زمان انجامید. در حالی [[کارل وایرشتراس]] و ددکیند از کانتور حمایت می‌کردند، [[لئوپولد کرونکر]]، که امروزه به عنوان بنیان‌گذار [[ریاضیات برساخت گرایی]] از او یاد می‌شود، حمایت نمی‌کرد. نظریه اعداد کانتور سرانجام به علت کاربرد مفاهیم کانتوری مانند [[تناظرات یک به یک]] بین مجموعه‌ها، اثباتش مبنی بر اینکه تعداد [[اعداد حقیقی]] بیشتر از اعداد صحیح است، و "بی‌نهایت بودن بی‌نهایت ها" ("[[بهشت کانتور]]") مبتنی بر عملکرد [[مجموعه توانی]] متداول گشت. کاربرد نظریه مجموعه‌ها منجر به ارائه مقاله "Mengenlehre" در سال ۱۸۹۸ از جانب [[آرتور شونفلایس]] به [[دائرةالمعارف کلین]] شد.
موج جالب توجه بعدی در نظریه مجموعه‌ها حدود ۱۹۰۰ پدیدار شد، وقتی معلوم شد نظریه کانتوری مجموعه‌ها منجر به ایجاد تناقضات بسیاری شد که [[آنتنومی]]ها یا [[پارادوکس]]ها خوانده می‌شوند. [[برتراند راسل]] و [[ارنست زلمو]] به طور جدا ساده ترین و معروف ترین پارادوکس را که امروزه [[پاراردوکس راسل]] خوانده می‌شود پیدا کردند: "مجموعه تمام مجموعه‌هایی را که عضو خودشان نیستند" را در نظر بگیرید، که منجر به این تناقض می‌شود که باید عضو خودش باشد و عضو خودش نباشد. در ۱۸۹۹ کانتور خودش را در معرض این سوال قرار داد: "[[کاردینال]] مجموعه تمام مجموعه‌ها چقدر است؟"، و به تناقض مرتبطی رسید. راسل از پارادوکس خود در سال ۱۹۰۳ به عنوان زمینه خلاصه ریاضیات قاره‌ای در "[[اصول ریاضیات]]"ش استفاده کرد.
پیشرفت نظریه مجموعه‌ها طوری بود که مناظره برروی پارادوکس‌ها باعث رها کردن آن نشد. کار [[زرملو]] در ۱۹۰۸ و [[آبراهام فرانکل]] در ۱۹۲۲ مجموعه اصول موضوعه [[ZFC]] را نتیجه داد، که به مورد استفاده ترین اصول موضوعه برای نطریه مجموعه‌ها بدل شد. کار آنالیست‌هایی مثل [[هنری لبزگ]] کاربرد بزرگ ریاضی نظریه مجموعه‌ها را که از آن زمان به بعد در تار و پود ریاضیات مدرن بافته شده، نشان داد. نظریه مجموعه‌ها به طور معمول به عنوان یک سیستم پایه استفاده می‌شود، هرچند در برخی از نواحی [[نظریه رده‌ها]] به عنوان سیستم پایه ترجیح داده می‌شود.
| |||