|
برای این که تابع ''f'' از مجموعه‌ی ''X'' و به مجموعه‌ی ''Y'' دوتابا باشد باید دو شرط زیر برقرار باشند:
# هر عضو مجموعه‌ی ''X'' باید یک عضو مجموعه‌ی ''Y'' را همنگاری کند،
# هر عضو مجموعهٔمجموعه‌ی ''Y'' باید به وسیله‌ی یک عضو مجموعه‌ی ''X'' همنگاری شده باشد (تصویر یک عضو دامنه باشد)
== مثال ==
معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است.
با بررسی ۴ شرط تعریف می‌توان نتیجه گرفت که با جفترهنگار کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد:
# تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)،
# هیچ دانش‌آموزی روی بیش از یک صندلی ننشسته است.
# تمام صندلی‌ها پر هستند و
# روی هیچ صندلی بیش از یک نفر ننشسته است.
پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها تناظر یک‌به‌یکدوتاب برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است.
مثال دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفترهنگار کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظردوتاب به دست می‌آید. چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند.
== مثال‌های ریاضی توابع دوسوییدوتابا و توابع غیر دوسویینادوتابا == ▼
* برای هر مجموعه ''X'' [[تابع همانی]]، دوسوییدوتابا است. ▼▲== مثال‌های ریاضی توابع دوسویی و توابع غیر دوسویی ==
* تابع ''f'': '''R''' → '''R''', ''f''(''x'') = 2''x'' + ۱ دوتابا است چون برای هر ''y'' یک ''x'' = (''y'' − ۱)/۲ وجود دارد. به طور کلی تمام توابع خطی به شکل ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' روی اعداد حقیقی دوتابا هستند اگر ''a'' مخالف صفر باشد. چون برای هر ''y'' وجود دارد یک ''x'' = (''y'' - ''b'')/''a''.
▲* برای هر مجموعه ''X'' [[تابع همانی]]، دوسویی است.
* تابع (''f'': '''R''' → '''R'''(-π/۲, π/2), ''f''(''x'') = 2arctan(''x'' +دوتابا ۱ دوسویی استهست چون برای هر ''yx'' دقیقاً یک ''x''زاویه =همچو (''y'' −را ۱)در بازه‌ی (π/۲, وجودπ/۲-) دارد.رهنگاری می‌کند به طورطوری کلیکه تمام توابع خطی به شکل ''f''(''xy'') = ''ax'' + ''b'' روی اعداد حقیقی دوسویی هستند اگر ''a'' مخالف صفر باشد. چون برای هر ''y'' وجود دارد یک arctan(''x'' =به (''y''بیان -دیگر ''b'')/''a''.معادله‌ی
(''x'' = tan (''y'' در بازه مذکور دقیقاً یک جوابپاسخ دارد. ▼* تابع (''f'': ''R'' → (-π/۲, π/2), ''f''(''x'') = arctan(''x'' دوسویی هست چون هر ''x'' دقیقاً با یک زاویه مثل ''y'' در بازهٔ (π/۲, π/۲-) جفت می‌شود به طوری که (''y'' = arctan(''x'' به عبارت دیگر معادلهٔ
* [[تابع نمایی]] ''g'': '''R''' → '''R''', ''g''(''x'') = e<sup>''x''</sup> دو سوییدوتابا نیست. چون مثلاً هیچ ''x'' ای وجود ندارد که ''g''(''x'')=-۱ پس این تابع پوشا نیست؛ ولی اگر هم‌دامنه را به اعداد مثبت محدود کنیم این تابع پوشا و در نتیجه دوسوییدوتابا می‌شود و وارون این تابع [[لگاریتم طبیعی]] نام دارد. ▼▲(''x'' = tan (''y'' در بازه مذکور دقیقاً یک جواب دارد.
▲* [[تابع نمایی]] ''g'': '''R''' → '''R''', ''g''(''x'') = e<sup>''x''</sup> دو سویی نیست. چون مثلاً هیچ ''x'' ای وجود ندارد که ''g''(''x'')=-۱ پس این تابع پوشا نیست؛ ولی اگر هم‌دامنه را به اعداد مثبت محدود کنیم این تابع پوشا و در نتیجه دوسویی می‌شود و وارون این تابع [[لگاریتم طبیعی]] نام دارد.
* تابع ''h'': '''R''' → '''R'''<sup>+</sup>, ''h''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>دوسویی نیست چون یک‌به‌یک نیست مثلاً ''h''(−۱) = ''h''(1) = ۱ ولی اگر دامنه آن را به اعداد مثبت محدود کنیم یک‌به‌یک و در نتیجه دوسویی می‌شود و تابع [[جذر]] معکوسش است.
== معکوس ==
یک تناظر یک‌به‌یک ''f'' با دامنهٔ ''X'' (به عبارت دیگر ''f'': ''X → Y'') یک [[رابطه دوتایی|رابطه]] را هم از ''Y'' به ''X'' تعریف می‌کند. به دلیل خواص (۳) و (۴) تعریف تابع دوسویی این رابطه یک تابع با دامنه ''Y'' هست و به دلیل خواص (۱) و (۲) تعریف این تابع پوشا و یک‌به‌یک هست. پس معکوس تابع دوسویی وجود دارد و دوسویی است.
توابعی که معکوس دارند معکوس‌پذیر نامیده می‌شوند. تابع معکوس‌پذیر است اگر و فقط اگر دوسویی باشد.
به عبارت دیگر تابع ''f'': ''X → Y'' دوسویی است اگر و فقط اگر
به ازای هر ''y'' عضو ''Y'' وجود دارد
''x'' منحصر به فرد عضو ''X'' که
''f''(''x'')=y
با توجه به مثال معلم و دانش‌آموزان اگر تابع را به این صورت تعریف کنیم که نام دانش‌آموز را به عنوان ورودی بگیرد و شمارهٔ صندلی او را به عنوان خروجی بدهد چون دوسویی است معکوس دارد؛ و معکوس آن تابعی است که شمارهٔ صندلی ورودی آن و نام دانش‌آموز خروجی آن است. این تابع هم دوسویی است.
== ترکیب ==
[[ترکیب تابع|ترکیب]] دو تابع دوسویی ''f''و''g''
<math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> یک تابع دوسوییدوتابا است. معکوس <math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> می‌شود
<math>\scriptstyle (g \,\circ\, f)^{-1} \;=\; (f^{-1}) \,\circ\, (g^{-1})</math>.
[[پرونده:Bijective composition.svg|۳۰۰px|بندانگشتی|چپ|یک تابع دوسویی که از ترکیب تابع یک‌به‌یک (سمت چپ) و یک تابع پوشا (سمت راست) به دست می‌آید.]]
== تناظرهای یک‌به‌یک و کاردینالیتی ==
اگر ''X'' و ''Y'' مجموعه‌های متناهی باشند میان ''X'' و ''Y'' تناظر یک‌به‌یک وجود دارد اگر و فقطتنها اگر تعداد اعضای آن‌ها برابر باشد. در واقع در [[نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها]] این به عنوان تعریف برابری تعداد اعضا استفاده شده‌است([[بنداشت گسترش]]) یا ([[[//en.wikipedia.org/wiki/Equinumerosity equinumerosity]]])، تعمیم این به [[مجموعه نامتناهی|مجموعه‌های نامتناهی]] باعث به‌وجودآمدن مفهوم [[اعداد کاردینال]] می‌شود که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌ها با اندازه‌های مختلف هستند.
== خواصویژگی‌ها ==
* یک تابع دوسوییدوتابا است اگر [[نمایش یک تابع|نمایش]] آن با هر خط افقی و عمودی دقیقاً در یک نقطه برخورد داشته‌باشد.
* برای یک مجموعه مانند ''X''، مجموعهٔمجموعه‌ی تمامهمه‌ی تناظرهارهنگاری‌ها از ''X'' به خودش همراه با عملگرکنشگر ترکیب توابع یک [[گروه (ریاضی)|گروه]] را می‌سازد که نام آن گروه سیمتریک آن مجموعه است؛ و با نمادهای S(''X''), ''S<sub>X</sub>'' و !''X''([[فاکتوریل]]) نشان داده‌می‌شود.
* اگر ''X'' و ''Y'' مجموعه‌های متناهی با تعداد اعضای برابر باشند و ''f'': ''X → Y'' در این صورت گزاره‌های زیر هم ارزند:
*# ''f'' یک‌به‌یک است.
*# ''f'' پوشا است.
*# ''f'' دوسوییدوتاب است.
* برای هر مجموعه ''S'' میان تناظرها از ''S'' به خودش و [[ترتیب کامل|ترتیب‌های کامل]] اعضا تناظر یک‌به‌یک وجود دارد. به عبارتبیان دیگر تعداد [[جایگشت|جایگشت‌ها]] با تعداد ترتیب‌های کامل برابر است که هر دو برابر !''n'' هستند.
== تناظرهای یک‌به‌یک و نظریه رده‌ها ==
| 