نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها

'''نظریه مجموعه‌ها''' (به [[زبان انگلیسی|انگلیسی]]: Set theory) شاخه‌ای از [[منطق ریاضی]] است که به مطالعه [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه‌ها]] می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریباً همه [[اشیاء ریاضی]] به کار برد.

مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط [[گئورگ کانتور]] و [[ریچارد ددکیند]] در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. بعد از کشف [[تناقض‌های نظریه مجموعه ها|تناقض‌های]] [[نظریه طبیعی مجموعه‌ها]]، [[دستگاه اصل موضوعی|دستگاه‌های بنداشتیاصل موضوعی]] بی شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها [[اصل موضوعه زرملو-فرانکل]] و [[اصل موضوعه]] انتخاب هستند.

نظریه مجموعه‌ها عموماً به عنوان [[سیستم بنیادین ریاضیات]] در شکل [[نظریه مجموعه‌های زرموزرملو-فرانکل]] همراه با [[اصل موضوع انتخاب|اصل موضوعه انتخاب]] به کار می‌رود. ورای نقش بنیادینش، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های [[ریاضی]] با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط [[اعداد حقیقی]] تا مطالعه [[سازگاری (منطق ریاضی)|سازگاری]] [[اعداد بزرگ]] متغیر است.

مباحث ریاضی به طور معمول از ارتباط متقابل میان پژوهش گران زیادی به دست می‌آیند. نظریه مجموعه‌ها، هرچند، با یک تک مقاله "«یک خاصیت مشخصه‌ای تمام اعداد جبری حقیقی"» در سال ۱۸۷۴ توسط [[گئورگ کانتور]] پایه ریزی شد.

کار کانتور به دو قطبی شدن ریاضیدانان آن زمان انجامید. در حالی [[کارل وایرشتراس]] و ددکیند از کانتور حمایت می‌کردند، [[لئوپولد کرونکر]]، که امروزه به عنوان بنیان‌گذار [[ریاضیات برساخت گرایی]] از او یاد می‌شود، حمایت نمی‌کرد. نظریه اعداد کانتور سرانجام به علت کاربرد مفاهیم کانتوری مانند [[تابع دوسویی|تناظرات یک به یک]] بین مجموعه‌ها، اثباتش مبنی بر اینکه تعداد [[اعداد حقیقی]] بیشتر از اعداد صحیح است، و "«بی‌نهایت بودن بی‌نهایت ها"» ("«[[بهشت کانتور]]"») مبتنی بر عملکرد [[مجموعه توانی]] متداول گشت. کاربرد نظریه مجموعه‌ها منجر به ارائه مقاله "«نظریه مجموعه‌ها» (به [[زبان آلمانی|آلمانی]]: Mengenlehre") در سال ۱۸۹۸ از جانب [[آرتور شونفلایس]] به [[دائرةالمعارف کلین]] شد.

موج جالب توجه بعدی در نظریه مجموعه‌ها حدود ۱۹۰۰ پدیدار شد، وقتی معلوم شد نظریه کانتوری مجموعه‌ها منجر به ایجاد تناقضات بسیاری شد که [[آنتنومی]]ها یا [[پارادوکس]]‌ها خوانده می‌شوند. [[برتراند راسل]] و [[ارنست زلموزرملو]] به طور جدا ساده‌ترین و معروف‌ترین پارادوکس را که امروزه [[پاراردوکسپارادوکس راسل]] خوانده می‌شود پیدا کردند: "«مجموعه تمام مجموعه‌هایی را که عضو خودشان نیستند"» را در نظر بگیرید، که منجر به این تناقض می‌شود که باید عضو خودش باشد و عضو خودش نباشد. در ۱۸۹۹ کانتور خودش را در معرض این سؤال قرار داد: "«[[عدد اصلی|کاردینال]] مجموعه تمام مجموعه‌ها چقدر است؟"»، و به تناقض مرتبطی رسید. راسل از پارادوکس خود در سال ۱۹۰۳ به عنوان زمینه خلاصه ریاضیات قاره‌ای در "«[[اصول ریاضیات]]"ش»اش استفاده کرد.

نظریه مجموعه‌ها با یک [[رابطه دودویی]] اصلی بین یک شی {{math|''o''}} و یک مجموعه {{math|''A''}} آغاز می‌شود. اگر {{math|''o''}} یک [[عضو]] (یا '"«عنصر"'») {{math|''A''}} باشد، بنویسید {{math|''o'' ∈ ''A''}}. چون مجموعه‌ها خود اشیاء هستند، رابطه عضویت نیز می‌تواند مرتبط باشد.

یک [[رابطه دوتایی|رابطه دودویی]] برگرفته بین مجموعه‌ها رابطه زیرمجموعه‌ای است، که '''شمول مجموعه ای''' نیز نامیده می‌شود. اگر همه اعضای {{math|''A''}} اعضای {{math|''B''}} نیز باشند، {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} است، که {{math|''A'' ⊆ ''B''}} نمادگذاری می‌شود. برای مثال، {{رچ}}{۱، ۲}{{چر}} یک زیر مجموعه {{رچ}}{۱، ۲، ۳}{{چر}} است. اما {{رچ}}{۱، ۴}{{چر}} نیست. با این تعریف، واضح است که هر مجموعه زیر مجموعه خودش است؛ در صورتی که نخواهیم این مورد را به حساب بیاوریم، عبارت «[['''زیرمجموعه|زیرمجموعه سره''']]» تعریف شده است. {{math|''A''}} '''زیر مجموعه سره''' {{math|''B''}} است اگر و فقط اگر {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} باشد ولی {{math|''B''}} زیر مجموعه {{math|''A''}} '''نباشد'''.

همانند [[حسابان]] که [[عملیات دودویی]] را روی [[اعداد]] پیاده‌سازی می‌کند، نظریه مجموعه‌ها نیز عملیات دودویی را روی مجموعه‌ها اعمال می‌کند.

* '''[[اصل متمم (ترکیبیات)|تفاضل]]''' مجموعه‌های {{math|''U''}} و {{math|''A''}}، مجموعه {{math|''U'' \ ''A''}}، مجموعه تمام اعضایی است که عضو {{math|''U''}} هستند ولی عضو {{math|''A''}} نیستند. تفاضل {{رچ}}{۱، ۲، ۳}{{چر}} \ {{رچ}}{۲، ۳، ۴}{{چر}} مجموعه {{رچ}}{۱}{{چر}} است؛ و برعکس تفاضل {{رچ}}{۲، ۳، ۴}{{چر}} \ {{رچ}}{۱، ۲، ۳}{{چر}} مجموعه {{رچ}}{۴}{{چر}} است. وقتی که {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''U''}} است، تفاضل {{math|''U'' \ ''A''}} '''[[متمم (نظریه مجموعه‌ها)|متمم]]''' {{math|''A''}} در {{math|''U''}} نیز خوانده می‌شود. در این مورد، اگر انتخاب {{math|''U''}} از متن معلوم باشد، نماد {{math|''A''^''c''}} بعضی اوقات به جای {{math|''U'' \ ''A''}} استفاده می‌شود، مخصوصاً وقتی {{math|''U''}} مانند مطالعه [[نمودار ون]] [[مجموعه جهانی]] باشد.

* '''[[ضرب دکارتی]]''' {{math|''A''}} و {{math|''B''}}، مجموعه {{math|''A'' × ''B''}} مجموعه‌ای است که اعضایش تمام [[زوج مرتب]]‌های ممکن {{math|(''a'',''b'')}} است که {{math|''a''}} عضوی از {{math|''A''}} و {{math|''b''}} عضوی از {{math|''B''}} است. ضرب دکارتی {{nowrap|1={۱, ۲} و {red, white} می‌شود {(red,1۱), (red, 2۲), (white, 1۱), (white, 2۱)}.}}

{{اصلی| جهان ونفون نویمان}}

[[پرونده:Von Neumann Hierarchy.svg|بندانگشتی|چپ|300px| یک بخش اولیه از سلسله مراتب ونفون نویمان.]]

یک مجموعه هنگامی [[خالصمجموعه محض|محض]] است که همه اعضایش مجموعه باشند، و همهٔ اعضای اعضایش مجموعه باشند و به همین ترتیب… برای مثال، مجموعه {{math|}} که تنها مجموعه تهی را دربردارد یک مجموعه خالص ناتهی است. در نظریه مدرن مجموعه‌ها، معمول است که توجه را به '''[[جهان ونفون نویمان]]''' مجموعه‌های خالص معطوف کرد، و تعداد زیادی از سیستم‌های نظریه بنداشتیاصل موضوعی مجموعه‌ها طراحی شده‌اند که تنها مجموعه‌های خالص را (axiomatize)اصل بندی کنند. این محدودیت از نظر فنی امتیازهای زیادی به همراه دارد و به کلیت خیلی کم لطمه می‌زند، زیرا به طرز ویژه‌ای همه مفاهیم ریاضی می‌توانند با استفاده از مجموعه‌های خالص باز سازی شوند. مجموعه‌ها در جهان ون نویمان با توجه به اینکه چقدر عمیق اعضایشان، اعضای اعضایشان و… در هم قرار گرفته‌اند در یک [[سلسله مراتب انباشته]] مرتب می‌شوند. هر مجموعه از این سلسله مراتب با یک عدد ترتیبی α مشخص می‌گردد (با استفاده از [[استقرای ترامتناهی]])، که به عنوان '''مرتبه''' آن شناخته می‌شود. مرتبه یک مجموعه خالص X به عنوان [[کوچکترین کران بالا]]ی همه [[جانشین]]‌های مرتبه‌های اعضای X تعریف می‌شود. برای مثال، مجموعه تهی مرتبه ۰ خوانده می‌شود، درحالی که مجموعه {{math|}} که تنها شامل مجموعه تهی است مرتبه ۱ خوانده می‌شود. برای هر عدد ترتیبی α، مجموعه ''V''_α به عنوان مجموعه‌ای تعریف می‌شود که شامل همه مجموعه‌های خالص با مرتبه کمتر از α است. کل جهان ون نویمان با ''V'' نشان داده می‌شود.

== نظریه بنداشتیاصل موضوعی مجموعه‌ها ==

نظریه مقدماتی مجموعه‌ها می‌تواند به صورت غیررسمی و طبیعی مطالعه شود، که بتوان آن را در مدارس ابتدایی با استفاده از [[نمودار ون]] تدریس کرد. رویکرد طبیعی تلویحاً فرض می‌کند که یک مجموعه می‌تواند از تشکیل کلاس کل اشیایی تولید شود که از یک شرط خاص تبعیت می‌کنند. این فرض تناقض‌هایی را به دنبال دارد، که ساده‌ترین و معروف‌ترین آنها [[پارادوکس راسل]] و [[پارادوکس بورالی-فورتی]] هستند. نظریه بنداشتیاصل موضوعی مجموعه‌ها در اصل درست شده بود که نظریه مجموعه‌ها را از چنین پارادوکس‌هایی برهاند.

گسترده‌ترین سیستم مطالعه شده نظریه بنداشتیاصل موضوعی مجموعه‌ها اذعان می‌کند که همه مجموعه‌ها از یک [[سلسله مراتب انباشته]] می‌آیند. همچنین سیستم‌هایی در دو ذائقه می‌آیند، آنهایی که [[هستی شناسی]]شان از:

* ''تنها مجموعه''ها تشکیل می‌شود. این رایج‌ترین نظریه بنداشتیاصل موضوعی مجموعه‌ها، '''[[نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل]] (ZFC)]]''' را شامل می‌شود، که خود شامل [[اصل انتخاب]] است. قطعه‌های ZFC شامل:

** [[نظریه مجموعه‌های زرملو]]، که [[اصل موضوع تصریح|طرح اصل جایگزینی]] را با [[جداسازیاصل جایگزینموضوع جداسازی]] جایگزین می‌کند.

** [[نظریه عمومی مجموعه‌ها]]، قطعه کوچکی از [[نظریه مجموهای زرملو]] که برای [[اصول پینوپئانو]] و [[مجموعه متناهی|مجموعه‌های متناهی]] کافی است.

** [[نظریه مجموعه‌های کریپکی-پلاتک]]، که اصول بی‌نهایت،[[اصل موضوع نامتناهی|نامتناهی]]، [[اصل موضوع مجموعه توانی|مجموعه توانی]] و [[اصل موضوع انتخاب|انتخاب]] را حذف می‌کند، و [[اصل طرحموضوع تصریح|اصل موضوع جداسازی]] و [[اصل موضوع جایگذاری|جایگذاری]] را تضعیف می‌کند.

* «مجموعه‌ها و [[کلاس‌های مناسب]]» تشکیل می‌شود. این‌ها شامل [[نظریه مجموعه‌ها ی ونفون نویمان-برنایز-گدلگودل]]، که برای نظریه‌های در مورد مجموعه‌های تنها به اندازه [[ZFC]] قدرتمند است، و همچنین [[نظریه مجموعه‌های مورس-کلی]] و [[نظریه مجموعه‌های تارسکی-گروثندیکگروتندیک]]، که هر دو از ZFC قوی ترند.

سیستم‌های بالا می‌توانند طوری اصلاح شوند که '''[[urelementsیورالمنت (نظریه مجموعه‌ها)|یورالمنت]]''' (به انگلیسی: urelement) یا عناصر اساسی، اشیایی که می‌توانند اعضای مجموعه‌ها باشند ولی خودشان مجموعه نیستند و عضوی ندارند، را مجاز بشمرند. سیستم‌های '''[[مبانی جدید (منطق ریاضی)|مبانی جدید]]''' '''NFU''' (شامل یورالمنت ها) و '''NF''' (فاقد آنها) بر پایه یک سلسله مراتب انباشته نیستند.NF و NFU شامل یک «مجموعه همه چیز» هستند، مرتبط با اینکه هر مجموعه یک متمم دارد. در این سیستم‌ها عناصر اساسی مهم هستند، چون NF، نه NFU، مجموعه‌هایی را تولید می‌کند که [[اصل موضوعه انتخاب]] آنها را در برندارد.

بسیاری از مفاهیم ریاضی می‌توانند به صورت دقیق تنها با استفاده از مفاهیم نظری بیان شوند. برای مثال، ساختارهای متنوعی مانند [[گراف (ریاضیاتریاضی)|گراف]]، [[خمینه‌ها]]، [[حلقه (ریاضیات)|حلقه‌ها]]، و [[فضاهای برداری]] همه می‌توانند به صورتی تعریف شوند که خواص بنداشتیاصل موضوعی متنوعی را داشته باشند. [[رابطه هم‌ارزی]] و [[ترتیب جزئی|روابط ترتیب]] در ریاضیات همه جا هستند، و نظریه [[روابط (ریاضی)رابطه|روابط]] ریاضی در نظریه مجموعه‌ها می‌توانند تعریف شوند.

نظریه مجموعه‌ها همچنین یک سازمان نویدبخش برای بیشتر ریاضیات است. از زمان انتشار اولین جلد «[[مبادی ریاضیات]]» ادعا شده است که بیشتر و یا حتی همه نظریه‌های ریاضی می‌توانند با استفاده از یک مجموعهٔ اصول موضوعه خوب طراحی شده برای نظریه مجموعه‌ها که به وسیله تعریف‌های زیادی بهبود یافته، با استفاده از [[منطق مرتبه اول]] یا [[منطق مرتبه دوم]]، مشتق شوند. برای مثال، خواص [[اعداد طبیعی]] و [[اعداد حقیقی]] از دل نظریه مجموعه‌ها نتیجه می‌شود، هر سیستم عددی را با یک [[رابطه هم‌ارزی|کلاس هم‌ارزی]] تحت یک [[رابطه هم‌ارزی]] مناسب با زمینه یک مجموعه [[نامتناهی]] شناخت.

نظریه مجموعه‌ها به عنوان یک نظام برای [[آنالیز ریاضی]]، [[توپولوژی]]، [[جبر مجرد]] و [[ریاضیات گسسته]]، مشابها بدون بحث است. ریاضیدانان می‌پذیرند که نظریه‌های این ناحیه می‌توانند از تعریف‌های مرتبط و اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها ناشی شوند. تعداد کمی از مشتقات کامل نظریه‌های پیچیده ریاضی از نظریه مجموعه‌ها رسماً تأیید شده‌اند، هرچند مشتقات رسمی اینچنین معمولاً از اثبات‌های زبان طبیعی که ریاضی‌دان‌ها معمولاً ارائه می‌دهند بسیار طولانی ترند. یک پروژه تأیید صحت [[متامثفراریاضیات]]، شامل مشتقات بیش از ۱۰۰۰۰ نظریه از اصول موضوعه [[ZFC]] تا استفاده از [[منطق مرتبه اول]] می‌شود.

== بنداشتاصل موضوع گسترش ==

بنداشت[[اصل موضوع گسترش|اصل موضوعی گسترش]] نخستین بنداشتاصل موضوع نظریه نگرهاصل بنداشتیموضوعی کوده‌هامجموعه‌ها (Axiomatic set theory) است و گویای این است که دو کودهمجموعه x و y برابرند اگر و تنها اگر اندام‌هایاعضای (member) یکسانی داشته باشند.<ref>Set theory, T. Yech, Academic Press 1978</ref><ref>[http://www.example.com/ example.com]</ref>