درخت پوشای کمینه

درخت پوشای بهینه(کمینه/با حداقل هزینه)

درخت پوشای بهینه در گراف های ارزش دار (وزن دار ) ساخته می شود.فرض کنید گراف یک گراف همبند باشد (یعنی بین هردو رأس متمایز آن یک مسیر وجود داشته باشد) منظور از یک درخت پوشا از این گراف درختی است که شامل همه رئوس این گراف باشد ولی فقط بعضی از یال های آنرا دربر گیرد. منظور از درخت پوشای مینیمم (برای گرف همبند وزن دار) درختی است که بین درخت های پوشای آن گراف، مجموع وزن یال های آن، کمترین مقدار ممکن باشد.براي به دست آوردن درخت پوشاي بهینه يک گراف جهت دار متصل مي توان از الگوريتم های متفاوتی استفاده نمود.البته بطور کلی دو الگوریتم برای درخت پوشای مینیمم وجود دارد که عبارتند از : الگوریتم Kruskal الگوریتم prim

الگوریتم Kruskal

در الگوریتم کراسکال , یالهای گراف را به ترتیب صعودی مرتب می کنیم . از اولین (کوچکترین) یال شروع کرده و هر یال را به گراف اضافه می کنیم به شرط اینکه دور در گراف ایجاد نگردد . این روال را آنقدر ادامه می دهیم تا درخت پوشای بهینه تشکیل گردد.

نحوه ی کار الگوریتم Kruskal به این صورت است که یک جنگل از درخت هارا به ترتیب با هم ادغام می کند تا به یک درخت واحد برسد.

الگوریتم prim

در این روش از یک رأس شروع می کنیم و کمترین یال(یال با کمترین وز ن ) که از آن می گذرد را انتخاب می کنیم . در مرحله بعد یالی انتخاب می شود که کمترین وزن را در بین یالهایی که از دو گره موجود می گذرد داشته باشیم . به همین ترتیب در م رحله بعد یالی انتخاب می گردد که کمترین وزن را در بین یالهایی که از سه گره موجود می گذرد داشته باشد . این روال را آنقدر تکرار می کنیم تا درخت پوشای بهینه حاصل شود . باید توجه کرد که یال انتخابی در هر مرحله در صورتی انتخاب می شود که در گراف دور ایجاد نکند . تفاوت روش پریم با روش کراسکال در این است که گراف حاصل در مراحل میانی تشکیل درخت پوشای بهینه در روش پریم همیشه متصل است ولی در الگوریتم کراسکال در آخرین مرحله قطعاً متصل است.

• ممکن است درختهایی که الگوریتم مذکور تولید می کنند، از لحاظ شکل ظاهری متفاوت باشند، ولی وزن همه ی درخت ها یکسان است.
• مرتبه ی زمانی الگوریتم prim برابر (o(n^2 است. (حلقه ی while، برای n دفعه و عمل یافتن از میان لبه های متصل به یک مجموعه دور خاص n دفعه اتفاق می افتد؛ که در مجموع برابر n^2 دفعه می شود).

از روش های دیگر برای یافتن درخت پوشای بهینه می توان الگوریتم های زیر را نام برد: الگوریتم دایکسترا الگوریتم سولین

الگوریتم دایکسترا (Dijkstra)

این الگوریتم بصورت حریصانه عمل نموده و بدنبال یافتن کوتاه ترین مسیر ممکن بین یک نود و هر نود دلخواه دیگر، در یک گراف وزن دار و جهت دار می باشد. ورودی این الگوریتم همیشه یک ماتریس دو بعدی است که همان ماتریس وزن گراف است.

الگوریتم سولین

در الگوریتم سولین برای هر گره یال با کمترین هزینه که از آن ع بور می کند را رسم می کنیم . در مرحله بعد ، گراف به مؤلفه هایی تقسیم می شود و یالی انتخاب می گردد که با کمترین هزینه دو مؤلفه گراف را به همدیگر متصل نماید با شرط عدم وجود دور در گراف. آنقدر این مراحل را ادامه می دهیم تا درخت پوشای بهینه حاصل شود.