روش مونته‌کارلو: تفاوت میان نسخه‌ها

از طرف دیگر روش مونت کارلو یک طبقه از الگوریتم‌های محاسبه گر می‌باشند که برای محاسبه نتایج خود بر نمونه گیری‌های تکرار شوندهٔ تصادفی اتکاء می‌کنند. روش‌های مونته کارلو اغلب زمان انجام شبیه‌سازی یک سامانه ریاضیاتی یا فیزیکی استفاده می‌شوند. به دلیل اتکای آنهاآن‌ها بر محاسبات تکراری و اعداد تصادفی یا تصادفی کاذب، روشهایروش‌های مونته کارو اغلب به گونه‌ای تنظیم می‌شوند که توسط رایانه اجرا شوند. گرایش به استفاده از روش‌های مونته کارلو زمانی بیشتر می‌شود که محاسبه پاسخ دقیق با کمک الگوریتم‌های قطعی ناممکن یا ناموجه باشد.<ref>Douglas Hubbard «How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business» pg. 46, John Wiley & Sons, 2007</ref> روش‌های شبیه‌سازی مونته کارلو مخصوصاً در مطالعه سیستمهاییسیستم‌هایی که در آن تعداد زیادی متغیر با درجه آزادی‌های دو به دو مرتبط وجود دارد مفید است، از جمله این سیستمهاسیستم‌ها می‌توان به سیالات، جامداتی که به شدت کوپل شده‌اند، مواد بی نظم و ساختارهای سلولی (مدل سلولی پاتز – Potts- را ببیند) اشاره نمود. از آن گذشته، روشهایروش‌های مونته کارلو برای شبیه‌سازی پدیده‌هایی که عدم قطعیت زیادی در ورودی‌های آنهاآن‌ها وجود دارد نیز مفید هستند، مثلاً محاسبه ریسک در تجارت. همچنین این روش‌ها به طوربه‌طور گسترده‌ای در ریاضیات مورد استفاده قرار می‌گیرند: یک نمونه استفاده سنتی کاربرد این روشهاروش‌ها در برآورد انتگرال‌های معین است، به خصوص انتگرال‌های چند بعدی با محدوده‌های مرزی پیچیده. واژه مونته کارلو در دهه [[۱۹۴۰ (میلادی)|۱۹۴۰]] (دهه [[۱۳۱۰]] شمسی) به وسیله فیزیکدانانی که روی پروژه ساخت یک سلاح اتمی در آزمایشگاه ملی لوس آلاموس آمریکا کار می‌کردند رایج شده‌است.<ref>[The beginning of the Monte Carlo method http://library.lanl.gov/la-pubs/00326866.pdf]</ref>

روش‌های تصادفی برای محاسبه و آزمایش (که عموماً به عنوان شبیه‌سازی تصادفی شناخته می‌شوند) را بدون تردید می‌توان تا اولین پیشگامان [[نظریه احتمال]] دنبال کرد ([[سوزن بافون]]، کار جزیی روی نمونه‌ها توسط [[ویلیام گوست]])، ولی به طوربه‌طور ویژه می‌توان آن را در دوران قبل از محاسبات [[الکترونیک]]ی دنبال کرد. تفاوت اساسی که معمولاً دربارهٔ روش شبیه‌سازی مونت کارلو بیان می‌شود این است که به طوربه‌طور اصولی نوع روش شبیه‌سازی را وارون می‌کند و نظر مسایل را با یافتن مدل مشابه احتمالی به خود جلب می‌کند.

به هر حال همان‌طور که می‌دانیم مثال‌های دیدگاه «[[وارون]]» به صورت تاریخی نیز وجود دارند، آنهاآن‌ها تا قبل از آمدن روش مونت کارلو به عنوان یک روش عمومی در نظر گرفته نمی‌شدند.

شاید معروفترین استفادهٔ اخیر از این روش توسط انریکو فرمی در سال[[۱۹۳۰]] باشد، هنگامی که او از یک روش تصادفی برای دستیابی به خواص [[نوترون]] تازه کشف شده، استفاده کرد. همچنین روشهایروش‌های مونت کارلو مرکزیت شبیه‌سازی مورد نیاز در پروژهٔ [[منهتن]] را داشتند اگرچه که در آن زمان در استفاده از ابزارهای محاسباتی در محدودیت جدی قرار داشتند؛ بنابراین مونت کارلو در زمانی مورد مطالعه و بررسی توسط دانشمندان قرار گرفت که [[کامپیوتر]]های الکترونیکی برای اولین بار پا به عرصه گذاشتند. (از سال ۱۹۴۵ تا امروز)

شرکت [[رند(Rand)]] و [[نیروی هوایی ایالات متحده]] دو سازمان مرتبط برای جمع‌آوری و ارسال اطلاعات دربارهٔ روشهایروش‌های مونت کارلو در طول این زمان بوده‌است، و کاربردهای گستردهٔ این روش را یافته‌اند.

# یک مربع روی صفحه ترسیم کنید، سپس یک دایره را درون آن [[شکل محاط|محاط کنید]]. در ادامه چندین شکل با اندازه یکسان را روی آن [[توزیع یکنواخت(پیوسته)|به طوربه‌طور یکنواخت پخش]] کنید (برای مثال، دانه‌های شن یا برنج) در سرتاسر مربع.

ابتدا ما یک محدوده از متغیرها را تعریف کردیم که یک مربع بود که دایره ما را احاطه کرده بود. سپس ورودی‌ها را به طوربه‌طور تصادفی تولید کردیم (پخش دانه‌ها به طوربه‌طور یکنواخت درون مربع)، سپس محاسبات را برای هر ورودی انجام دادیم (بررسی کردیم که آیا دانه درون دایره هست یا نه). در آخر، تمام جوابها را در جواب نهایی ادغام نمودیم. همچنین به این نکته توجه داشته باشید که دو ویژگی مشترک دیگر روش‌های مونته کارلو این است:

شبیه‌سازی مونت کارلو به طوربه‌طور ویژه‌ای در مطالعهٔ [[سیستم]]ها با [[درجه آزادی]] زوج متعدد مورد استفاده قرار می‌گیرد مثل [[مایع]]ات، [[مواد متخلخل]]، [[مایعات شدیداً زوج]] و [[ساختارهای حفره دار]] (مانند [[ساختار حفره دار پات]]). روش‌های مونت کارلو به صورت وسیعی در مدل سازی پدیده‌ها با مقادیر قابل توجهی عدم اطمینان در ورودی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد مثل:

محاسبهٔ [[ریسک]] در تجارت (نمونه کاربرد آن در [[اقتصاد]]، مدل سازی تصادفی است) استفادهٔ [[کلاسیک]] از این روش‌ها برای ارزیابی و محاسبهٔ [[انتگرال‌های معین]]، به طوربه‌طور خاص برای [[انتگرال‌های چند بعدی]] باشد با [[شرایط مرزی]] پیچیده، استفاده می‌شود.

* [[گرافیک]]، به طوربه‌طور خاص [[خط اثر پرتو]]

* در شبیه‌سازی پیچش برای پیش بینیپیش‌بینی ساختار [[پروتین]]

* در شیمی فیزیک، به طوربه‌طور خاص برای شبیه‌سازی [[قالب‌های اتمهای درگیر]]

کاربرد روش مونت-کارلو در ریاضیات و آمار بسیار گسترده‌است. با استفاده از این روش، با انتخاب تصادفی یک یا تعداد محدودی پاسخ از میان پاسخهای موجود، تلاش می‌شود تا به راه حل قابل قبولی دست یافت. این تکنیک زمانی ارزش پیدا می‌کند، که مجموعه آلترناتیوهای موجود برای پاسخ یک مسئله بسیار بزرگ باشد و عملاً امکان آزمودن تمامی آنهاآن‌ها وجود نداشته باشد؛ یک نمونه کلاسیک در این زمینه، [[الگوریتم رابین]] برای تست اول بودن یک عدد می‌باشد. الگوریتم رابین بیان می‌دارد که با داشتن یک عدد مانند n که غیر اول است، یک عدد تصادفی مانند x، دارای احتمال ۷۵٪ است تا ثابت کند عدد n عددی غیر اول است؛ بنابراین، با داشتن عدد غیر اولی مانند n اگر عددی تصادفی مانند x یافت شود، بطوری کهبطوری‌که ثابت کند n احتمالاً عددی اول است، ما موفق به آزمودن گزینه‌هایی شده‌ایم که احتمال رخداد آنهاآن‌ها ۱ به ۴ است. حال با یافتن ۱۰ عدد دیگر مانند x که ثابت کند n احتمالاً عددی اول است، موفق به یافتن مجموعه‌ای شده‌ایم که احتمال وقوع آنهاآن‌ها ۱ به میلیون است. [[الگوریتم لاس وگاس]] نیز از روش مونت-کارلو بهره می‌برد. یکی از رایج‌ترین کاربرد مونت کارلو، [[انتگرال گیری]] مونت کارلو است.

==== انتگرال گیریانتگرال‌گیری ====

روش‌های قطعی انتگرال گیریانتگرال‌گیری عددی به وسیله دریافت عدد نمونه‌های فاصله دار یکنواخت از یک تابع است. به طوربه‌طور کلی، این روش برای توابع یک متغیری بسیار خوب جواب می‌دهد. در حالی که برای تابعی از بردارها، [[روش‌های تربیع قطعی]] بی تاثیراندتأثیراند. ه (مثلاً برای محاسبهٔ انتگرال 2X اعداد تصادفی تولید شده توسط توابع گاوس را در صفحه‌ای مشخص می‌ریزد و با استفاده از نسبت نقاط داخل و خارج تابع مساحت محاسبه می‌شود)

برای انتگرال گیریانتگرال‌گیری عددی از یک تابع دو متغیره از [[بردار]]ها، نقاط فاصله دار به صورت چهارخانه به طوربه‌طور مساوی روی صفحه دو [[بعد]]ی مورد نیاز است.

تا زمانی که تابع مورد سؤال یک تابع خوش رفتار است، به وسیله انتخاب تصادفی نقاط در فضای ۱۰۰ بعدی و گرفتن نوعی [[میانگین]] از مقادیر تابع در این نقاط، می‌تواند تخمین زده شود. با به کار گیریکار‌گیری [[قانون اعداد بزرگ]]، این روش [[همگرایی]] به <math>1/\sqrt{N}</math> را نشان می‌دهد.

==== روش‌های انتگرال گیریانتگرال‌گیری ====

هدف اصلی روش مونت کارلو یا دینامیک مولکولی محاسبه خواص تعادلی یک سیستم است. در این روش پس از حصول اطمینان از بودن در حالت تعادل، با تغییر تصادفی موقعیت و جهت گیریجهت‌گیری ذرات موجود در سیستم، پیکربندی‌هایی از سیستم تولید می‌شود. منظور از پیکربندی مجموعه‌ای از موقعیت و جهت گیریجهت‌گیری همهٔ ذرات در یک حالت از تمام حالت‌های ممکن سیستم است. پیکربندی تولید شده در هر مرحله با احتمالی که توسط قوانین ترمودینامیک آماری تعیین می‌گردد، رد یا تأیید می‌شود. این احتمال به انرژی پتانسیل بین دو ذره بستگی دارد. در هر پیکربندی خاصیت ترمودینامیکی مورد نظر اندازه‌گیری می‌شود. با نمونه برداری صحیح از این پیکربندی‌ها و میانگین گیری، می‌توان مقدار آن خاصیت را در حال تعادل به دست آورد.<ref>شبیه‌سازی‌های رایانه‌ای، سیف‌الله جلیلی {{شابک|978-964-8703-39-9}}</ref>