ترتیب جزئی: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
جز افزودن سریع رده «ریاضیات پایه» (با استفاده از ردهساز) |
|||
خط ۳:
{{بدون منبع}}
یکی از موارد استفاده از رابطهها
▲یکی از موارد استفاده از رابطهها استفاده از آنها برای مرتب کردن بعضی یا همهٔ اعضای یک مجموعهاست. برای مثال ما برای مرتب کردن کلمات از رابطهٔ متشکل از زوج مرتبهای (x,y) استفاده میکنیم، به شرطی که در ترتیب الفبایی x قبل از y باشد، یا مثلا میتوان مجموعهٔ اعداد صحیح را با رابطهٔ متشکل از زوجهای (x,y) مرتب کرد که x کوچکتر از y باشد. اگر به مثال آخر اعضای (x,x) را اضافه کنیم، به رابطهای میرسیم که خواص بازتابی، پادتقارنی و تعدی را داراست.
این سه ویژگی، ویژگیهای رابطهای است که میتوان بخش یا همهٔ اعضای آن را مرتب کرد.
==تعریف==
*به ازای هر عدد صحیح a داریم a≤a
*به ازای هر دو عدد صحیح a,b، اگر b≤a و a≤b آنگاه a=b.
*به ازای هر سه عدد صحیح a وb وc، اگر b≤a و c≤b. آنگاه c≤a.
اعداد صحیح و رابطه
===قرارداد===
این نشانه گذاری ناشی از علامت کوچکتر مساوی در اعداد است. چون رابطهٔ کوچکتر مساوی و اعداد صحیح نمونهٔ بارزی از مجموعههای جزئی مرتب است.
سطر ۳۱ ⟵ ۳۲:
مثلا مجموعهٔ {A={۱٬۲٬۳٬۴ را در نظر بگیرید اگر (p(A مجموعهٔ توانی A باشد در <math>(P(A),\subseteq)</math> نمیتوان {۱٬۲} را به {۱٬۳}مربوط کرد. یعنی نه {۱٬۲} کوچکتر مساوی است با {۱٬۳} و نه {۱٬۳} کوچکتر مساوی است با {۱٬۲}.
== اعضای قابل مقایسه ==
برای مثال ۵ و ۷ در (|,N) غیر قابل مقایسهاند چون نه ۷|۵ و نه ۵|۷.
== مجموعه مرتب ==
اگر هر دو عضو (S,R) قابل مقایسه باشند مجموعهٔ S را مجموعه مرتب (مرتب خطی) مینامند. به مجموعهٔ مرتب زنجیر (chain) نیز میگویند.
مثال: <sup>+</sup>Z نسبت به رابطهٔ ≥ مجموعهٔ مرتب است. چون به ازای هر دو عدد صحیح a وb یا a≤b یا b≤a.
== خوش ترتیبی ==
مجموعهٔ (≥,S) یک مجموعه خوش ترتیب است، اگر مجموعهای مرتب باشد و هر زیر مجموعهٔ ناتهی از آن کوچکترین عضو داشته باشد.
اصل استقرای ریاضی را میتوان با استفاده از خوش ترتیبی اثبات کرد.
===اصل استقرای ریاضی
فرض کنید S یک مجموعهٔ خوش ترتیب باشد آنگاه (p(x برای هر x∈S صحیح است، اگر:
سطر ۵۱ ⟵ ۵۴:
مرحلهٔ استقرایی: برای هر y∈S اگر به ازای هر x عضو S که x<y و (P(x درست باشد آنگاه (p(y درست است.
[[رده:ریاضیات پایه]]
|