|
در [[ریاضیات]] یک تابع مقدماتی (elementary function )، [[تابع]]ی است یک [[متغیر (ریاضی)|متغییره]] که از [[ترکیب تابع|ترکیبی]] از تعداد متناهی [[حساب|عمل هایعمل‌های اصلی]] (+ - × ÷) ، [[تابع نمایی|توابع نمایی]]، [[لگاریتم]]ی، [[ضریب|اعداد ثابت]] و [[معادله جبری|جواب‌های معادلات جبری]] (به طوربه‌طور کلی ریشه n ام ) است.
تابع مقدماتی؛ [[توابع مثلثاتی]]، توابع هذلولوی و معکوس آن هاآن‌ها را هم شامل می شود،می‌شود، چرا که این توابع به وسیله توابع لگاریتمی و نمایی نیز قابل بیان هستند.
بنا به تعریف مجموعه توابع مقدماتی نسبت به عمل هایعمل‌های اصلی (+ - × ÷)، ترکیب توابع و [[مشتق|مشتق گیری]] [[بستار (ریاضی)|بسته]] اند، اما تحت [[سری (ریاضیات)|حد گیریحدگیری و بی نهایتبی‌نهایت بار جمع زدن]] بسته نیستند. همچنین توابع مقدماتی، طبق [[:en:Liouville's_theorem_(differential_algebra)|قضیه لیوویل]]، نسبت به عمل [[انتگرال|انتگرال گیری]] بسته نیستند، [[:en:Nonelementary_integral|برای اطلاعات بیشتر به توابع غیر مقدماتی مراجعه کنید]]. [[:en:Liouvillian_function|توابع لیوویل]] به صورت تابع هایتابع‌های مقدماتی، و به طوربه‌طور بازگشتی، انتگرال توابع لیوویل تعریف می شوندمی‌شوند.
بعضی از توابع مقدماتی مانند ریشه گیریریشه‌گیری ها، توابع لگاریتمی و [[توابع معکوس مثلثاتی]] در [[:en:Entire_function|تمام نقاط تعریف نشده اند]] و ممکن است برای [[:en:Multivalued_function|یک مقدار x چند مقدار بدهند]].
اولین بار [[ژوزف لیوویل]] با مجموعه مقالاتی که در طی سال هایسال‌های 1833 تا 1841 نوشت، تابع مقدماتی را معرفی کرد. و بعدها [[:en:Joseph_Ritt|ژوزف فلز ریت]] در دهه 1930 یک روش جبری برای محاسبه توابع مقدماتی ابداع کرد.
== چند مثال ==
=== توابع غیر مقدماتی ===
اگر بخواهیم یک تابع غیر مقدماتی مثال بزنیم، می توانمی‌توان تابع خطا را نام برد:
<math>\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt,</math>
این حقیقت که این تابع غیر مقدماتی است در نگاه اول واضح نیست، اما می توانمی‌توان با الگوریتم ریچی نشان داد.
همچنین مثال هایمثال‌های [[:en:Liouvillian_function#Examples|توابع لیویل# مثال ها]] و [[:en:Nonelementary_integral|انتگرال توابع غیر مقدماتی]] را نیز می توانیدمی‌توانید ببینید.
== جبر دیفرانسیلی ==
تعریف ریاضی یک '''تابع مقدماتی'''، یا یک تابع به صورت مقدماتی، به صورت مفهومی از [[:en:Differential_algebra|جبر دیفرانسیلی]] در نظر گرفته می شودمی‌شود. جبر دیفرانسیلی همان جبر معمولی است با یکسری اعمال اضافی ترِ مشتق ( نسخه جبری از دیفرانسیل ). با استفاده از اعمال مشتق میمی‌توان توان رابطه هایرابطه‌های جدیدی نوشت که راه حل های آنحل‌های هاآن‌ها در نسخه هاینسخه‌های [[:en:Field_extension|تعمیم یافته]] جبر استفاده می شودمی‌شود. با شروع مطالعات روی [[میدان (ریاضی)|میدان]] [[تابع گویا|توابع گویا]] ، (توابعی که صورت و مخرج آن هاآن‌ها چند جمله ایجمله‌ای است.) دو نوع مخصوص تعمیم غیر جبری شامل (لگاریتم و توابع نمایی) را نیز می توانمی‌توان به میدان توابع مقدماتی اضافه کرد.
یک میدان دیفرانسیل ''F'' عضو یک میدان ''F<sub>0</sub>'' است (برای مثال توابع گویا در حول تابعی گویا مانند Q) که با نگاشت ''u'' → ∂''u''عضو می شوندمی‌شوند. (بنابراین ''u∂'' یک تابع جدید است. گاهی این عبارت را به صورت ''<nowiki/>'u'' نیز می نویسند.) مشتق، مشخصات دیفرانسیلی یک عبارت را نشان می دهد، بنابراین برای هر دو عبارتِ این میدان، مشتق، خطی است:
<math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v</math>
<math>\partial(u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot\partial v\,.</math>
یک عبارت مانند ''h'' ثابت است اگر ''h=0∂'' باشد. اگر میدان پایه در اطراف توابع گویا باشد، باید در زمان تعمیم دادن این مطلب مراقب بود که ثابت هایثابت‌های متعالی(غیر جبری) را هم اضافه کرد.
یک تابع مانند ''u'' از یک تعمیم دیفرانسیل مانند ''[0]F'' از میدان دیفرانسیلی ''F'' یک تابع مقدماتی است در طول ''F'' اگر تابع ''u''
| 