مشتق: تفاوت میان نسخه‌ها

اگر تابع <math>f \!</math> روی بازهٔ <math>I \!</math> مشتق‌پذیر باشد تابع <math>f' \!</math> خود ممکن است در نقطه‌ای مثل <math>a \!</math> مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر <math>f''(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h) - f'(a)}{h}</math> موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع <math>f \!</math> در <math>a \!</math> موجود است و آن را با <math>f''(a) \!</math> نمایش می‌دهیم.

 

:<math>f^{(n)} (a) = \lim_{h \to 0}\frac{f^{(n - 1)} (a + h) - f^{(n - 1)} (a)}{h}</math>

 

نقطهٔ درونی <math>c \in D_f \!</math> را [[نقطه بحرانی (ریاضیات)|نقطهٔ بحرانی]] تابع <math>f \!</math> گویند هرگاه <math>f'(c) = 0 \!</math> یا <math>f'(c) \!</math> موجود نباشد. ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل اینکه نقاط درونی بازه نیستند جزو نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.

 

 

اگر تابع <math>f \!</math> روی بازهٔ <math>(a , b) \!</math> پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر <math>\max \!</math> و <math>\min \!</math> مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس <math>\lim_{x \to a^{+}} f (x) \!</math> و <math>\lim_{x \to b^{-}} f (x) \!</math> را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد <math>\max \!</math> یا <math>\min \!</math> مطلق است. در غیر این صورت <math>\max \!</math> یا <math>\min \!</math> مطلق را مشخص می‌کنیم.

=== قاعدهٔ هوپیتال ===

{{اصلی|قاعده هوپیتال}}

:<math>\lim_{x \to a} \cfrac {f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \cfrac {f' (x)}{g' (x)} = L \!</math>