نظریه ارگودیک: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
Fatranslator (بحث | مشارکت‌ها) جز افزودن ناوباکس> الگو:فرایندهای تصادفی (درخواست کاربر:Modern Sciences)+تمیز+ |
FreshmanBot (بحث | مشارکت‌ها) جز اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB |
||
خط ۱:
در [[ریاضیات]]، به یک تبدیل اندازه‌نگهدار ''T'' در [[فضای احتمال]]، ارگودیک گفته می‌شود اگر تمام مجموعه‌های اندازه‌پذیر ثابت تحت ''T'' دارای اندازه‌های ۰ یا ۱ باشند. یک عبارت قدیمی‌تر برای این خاصیت [[تراگذری]] متریک
نظریه ارگودیک مربوط به شاخه‌ای از علم ریاضیات است که سیستم‌های پویا با یک معیار ثابت ومسائل مربوط به
== تعریف ارگادیک ==
خط ۱۷:
== ریشه لغت ارگودیک ==
کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق
== تعریف نمادین ==
فرض کنید که <math>(X,\; \Sigma ,\; \mu\,)</math> یک فضای احتمال و<math>T:X \to X</math> یک تبدیل قابل اندازه‌گیری است در این صورت می‌گوییم ''T''نسبت به<math>\mu</math> ارگودیک است (یا
* for every <math> E \in \Sigma</math> with <math>T^{-1}(E)=E\,</math> either <math>\mu(E)=0\,</math> or <math>\mu(E)=1\,</math>.
* for every <math> E \in \Sigma</math> with <math>\mu(T^{-*1}(E)\bigtriangleup E)=0</math> either <math>\mu(E)=0\,</math> or <math>\mu(E)=1\,</math> (where <math>\bigtriangleup</math> denotes the [[symmetric difference]]).
خط ۲۸:
== مثالها ==
* یک دوران اصم دایره '''R'''/'''Z''' با ''T'': ''x'' → ''x''+''θ'' که ''θ''اصم است ارگودیک می‌باشد. در حالیکه اگر ''θ'' = ''p''/''q'' گویا باشددر این صورت ''T'' متناوب با دوره تناوب ''q'' است ونمی تواند ارگودیک باشد.
* اگر فرض کنیم که''G'' یک گروه فشرده آبلی باشد ''μ'' معیار نرمالیزه شده Haar باشد و''T'' <sup>*</sup> یک گروه خود سان از ''G''<sup>*</sup> باشد. ''T'' خودسان ارگودیک است اگر
* ergodicity یک سیتم پویای پیوسته به این معنی است که خطوط مسیر در اطراف فضای حالت پخش شده‌اند. یک سیتم با یک فضای حالت فشرده که دارای اولین انتگرال ثابت نیست نمی‌تواند ارگودیک باشد؛ که این در سیستم هاملتیونی که اولین انتگرال ''I''
== نظریه‌های ارگودیک ==
خط ۳۹:
* اگر <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر باشد در این صورت می‌توانیم میانگین مکانی از ''f'' را به صورت زیر تعریف کنیم:
:<math> \bar f =\frac 1{\mu(X)} \int f\,d\mu. \quad\text{ (For a probability space,} \mu(X)=1.) </math>
* در کل میانگین زمانی ومکانی ممکن است متفاوت باشند. اما اگر تبدیل ارگودیک باشد
حالت قوی نظریه ارگودیک که محدود به تعریفی از میانگین زمانی ''f'' می‌باشد وتقریبا برای هر ''x'' وتابع حدی انتگرال پذیر <math>\hat f</math> وجود دارد:
:<math>\hat f \in L^1(\mu). \, </math>
* علاوه برآن <math>\hat f</math> نسبت به ''T'' نا متغیر است یعنی می‌توان گفت که:
:<math>\hat f \circ T= \hat f \, </math> تقریباً در همه جا برقرار است واگر <math>\mu(X)</math> محدود باشد در این صورت
:<math>\int \hat f\, d\mu = \int f\, d\mu.</math>
خط ۵۴:
* بنابراین تقریباً برای تمام ''x''ها به جز آنهایی که مجموعه‌ای با اندازه صفر هستند قطعاً برای یک تبدیل ارگودیک میانگین زمانی تقریباً معادل میانگین مکانی می‌باشد.
==
<!-- This section, with the title "Probabilistic formulation: Birkhoff–Khinchin theorem" (with an en-dash, not a hyphen), is linked from six redirect pages. -->
قضیه Birkhoff–Khinchin می‌گوید با فرض اینکه <math>f</math> قابل اندازه‌گیری باشد <math>E(|f|)<+\infty</math> و<math>T</math> یک نگاشت
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\;
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)=E(f|\mathcal{C})\text{ a.s.},</math>
نتیجه فرعی این است که اگر <math>T</math> به صورت ارگودیک باشد در این صورت<math>\mathcal{C}</math> یک <math>\mathcal{C}</math> جبری بدیهی است بنابراین:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)=E(f)\text{ a.s.}</math>
== حد متوسط قضیه ارگودیک ==
صورت دیگر قضیه ارگودیک مر بوط به حد متوسط قضیه ارگودیک است که توسط Neumann''' von ''' ارائه شد ه
فرض کنید که <math>U</math> یک اپراتورواحد روی فضای Hilbert یعنی <math>H</math> باشد یا
فرض کنید که <math>P</math> یک تصویر متعامد روی
<math>\{\psi \in H| U\psi=\psi\} = \operatorname{Ker}(I-U)</math> باشد در این صورت برای هر <math>x \in H</math> داریم:
:<math> \lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} U^{n} x = P x,</math>
*
:<math>\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}U^n</math>
به عبارت دیگر توالی میانگینها نسبت به ''P'' در توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. این قضیه خاص مواردی است که که در آن فضای Hilbert یعنی ''H'' شامل ''L''<sup>۲</sup> تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور و''U'' به صورت''L''<sup>۲</sup> تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور و''U'' به صورت:<math>Uf(x) = f(Tx) \, </math> می‌باشد که
* بنابراین قضیه ارگودیک عملکرد میانگین تابع ''f'' را در طول یک مقیاس زمانی به اندازه کافی بزرگ ارزیابی می‌کند که از طریق جزء متعامد از ''f'' که نسبت به زمان نامتغیر است تقریب زده
صورت دیگر قضیه حد متوسط ارگودیک این است که فرض کنیم ''U''<sub>''t''</sub> یک گروه یک پارامتری اکیداً پیوسته از اپراتور واحد روی ''H'' باشد در این صورت اپراتور به صورت زیر است:
:<math>\frac{1}{T}\int_0^T U_t\,dt</math>
خط ۸۱:
== همگرایی میانگین‌های ارگودیک در مقیاس‌های <math>L^p</math> ==
فرض کنید که <math>(X,\Sigma,\mu)</math> به عنوان فضای احتمالی بالا با تبدیل حفظ کننوه اندازه‌گیری ''T'' باشد وفرض کنید که <math>1\leq p\leq \infty</math>. میانگین شرطی نسبت به مجموع جبری σ، <math>\Sigma_T</math> از ''T'' مجموعه نا متغیر یک تصویرگر خطی<math>E_T</math> با اندازه ۱ از فضای Banach <math>L^p(X,\Sigma,\mu)</math> به زیر فضای بسته <math>L^p(X,\Sigma,\mu)</math> است؛ که بعداً ممکن است به عنوان فضایی از همه Tهای نا متغیر توابع <math>L^p</math> روی ''X'' طبقه‌بندی شود. همچنین میانگین‌های ارگودیک به عنوان اپراتورهای خطی روی <math>L^p(X,\Sigma,\mu)</math> دارای یک اپراتور با اندازه واحد می‌باشد. به عنوان یک
اغلب این درست است که داشته باشیم: <math>1<p\leq \infty:</math> قضیه حالت‌های همگرایی تسلطی ارگودیک مربوط به Wiener–Yoshida–Kakutani بیان می‌کند که میانگین‌های ارگودیک از <math>f\in L^p</math> در<math>L^p</math> مسلط
سرانجام اگر فرض شود که ''f'' در طبقه Zygmund است یعنی <math>|f|\log^+|f|</math> انتگرال پذیر باشد در این صورت حد متوسط ارگودیک حتی در <math>L^1</math> تسلط
== زمان اقامت ==
فرض کنید که <math>(X,\Sigma,\mu)</math> یک فضای اندازه‌گیری باشد
:<math> \frac{\mu(A)}{\mu(X)} = \frac 1{\mu(X)}\int \chi_A\, d\mu
= \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \chi_A\left(T^k x\right) </math>
برای تمام ''x''ها به جز برای یک مجموعه با اندازه صفر
فرض کنید که زمان‌های پیش آمد از یک مجموعه قابل اندازه‌گیری ''A'' به عنوان مجموعه‌ای از
''k''<sub>۱</sub>، ''k''<sub>۲</sub>، ''k''<sub>۳</sub>،... ،
از زمان‌های ''k''
تناوب میان زمان‌های رخداد متوالی ''R''<sub>''i''</sub> = ''k''<sub>''i''</sub> − ''k''<sub>''i''−۱</sub>
زمان‌های بازگشتی نامیده می‌شود. یکی از نتایج دیگری که از قضیه ارگودیک گرفته می‌شود این است که متوسط زمان بازگشت از ''A''
''k''<sub>۰</sub> = ۰.
:<math> \frac{R_1 + \cdots + R_n}{n} \rightarrow \frac{\mu(X)}{\mu(A)}
خط ۱۰۷:
== تجزیه ارگودیک ==
متعقابا اینکه ergodicity یک سیستم پویا یک ویژگی خاص تحویل نا پذیر است وابسته به مفهوم نمایش غیرقابل تقلیل جبری وعدد اول در ریاضیات است. یک تبدیل
== منابع ==
| |||