معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
جز ربات ردهٔ همسنگ (۳۰.۱) +مرتب+تمیز (۱۴.۹ core): + رده:مفاهیم بنیادین فیزیک |
|||
خط ۳:
'''معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی''' که به اختصار PDE (مخففPartial Differential Equations) خوانده میشوند، به دستهای از معادلات دیفرانسیل گفته میشود که در آنها توابع مجهول بر حسب چند [[متغیر مستقل]] به همراه [[مشتق پارهای]] توابع نسبت به آن متغیرها شرکت داشتهباشند. به این دسته از معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل پارهای، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادلات دیفرانسیل جزئی گفته میشود.
معادله دیفرانسیل معادلهای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگیهای زیر رده بندی میشوند.
== نوع عادی یا جزئی ==
معادله شامل متغیر مستقل x، تابع ( y = f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی مینامیم. معادلهای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی مینامیم.
مرتبه: عبارت استاز مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.
درجه: پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش، بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله است.
معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n جوابی شامل n ثابت دلخواه دارد، این جواب را جواب عمومی مینامند.
ساختار معادلات دیفرانسیل ساختارهای متفاوتی هستند و هر ساختار ویژگیهای متفاوتی دارد:
خط ۱۸:
معادلات مرتبه اول از درجه اول؛
با متغیرهای جدایی پذیر ؛
همگن؛
خطی برنولی؛
با دیفرانسیلهای کامل؛
معادلات مرتبه دوم؛
معادلات خطی با ضرایب ثابت
۱. همگن
۲. ناهمگن
تکنیکهای تقریب زدن
۱. سریهای توانی؛
۲. روشهای عددی
صور مختلف معادلات دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره میتوان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.
خط ۴۸:
M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫
▲معادله دیفرانسیل همگن
گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر میتوان به معادلهای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادلهای را همگن مینامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه میتوان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.
سطر ۵۶ ⟵ ۵۵:
معادله را که بتوان آن را به صورت
M (x,y) dx + N(x,y) dy = ۰
سطر ۶۳ ⟵ ۶۲:
M/∂y = ∂N/∂x∂
معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:
F (x,
این گونه معادلات را معمولاً با یک متغیر مناسب مثل
معادلات دیفرانسیل خطی
معادله دیفرانسیل
را که در آن توابع
حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه n ام به توسط سریهای توانی
معادله دیفرانسیل
را در نظر میگیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله میپردازیم:
، و ...
همین طور با جاگذاری سری مربوط به ( F(xو تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله میپردازیم.
کاربردها
کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیفکننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن بدست میآیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت میشوند.
در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند.
سطر ۹۰ ⟵ ۸۹:
در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند
همینطور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.
== جستارهای وابسته ==
{{
{{wikibooks|Partial Differential Equations}}
* [[معادله حرارت]]
سطر ۱۰۱ ⟵ ۹۹:
* [[معادلات ناویه-استوکس]]
* [[حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]]
== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپچین}}
* John, Fritz. ''Partial Differential Equations'', ۴th edition, Springer-Verlag New York Inc., ۱۹۸۲. {{ISBN|0-387-90609-6|en}}
{{پایان چپچین}}
[[رده:حسابان چندمتغیره]]
سطر ۱۱۵ ⟵ ۱۱۰:
[[رده:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل هذلولوی با مشتقات جزئی]]
[[رده:مفاهیم بنیادین فیزیک]]
|