معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

جز
جایگزین نحوه ریاضی ضعیف با توجه به mw:Extensions:Math/Roadmap
جز (ربات: جایگزینی پیوند جادویی شابک با الگو شابک)
جز (جایگزین نحوه ریاضی ضعیف با توجه به mw:Extensions:Math/Roadmap)
برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر
برای سه بعدی‌ها بردار مکان '''r''' و بردار تکانهٔ '''P''' باید استفاده شود.
 
<math>E = \frac{\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{p}}{2m}+V(\boldmathbf{r},t)=H</math>
 
این معادله می‌تواند برای هر تعداد ذره ثابت گسترش یابد:
انرژی کل، پس حاصل جمع انرژی‌های جنبشی کل، به علاوه انرژی پتانسیل است؛ که همام هامیلتونی می‌باشد. اگرچه هامیلتونی می‌تواند فعل و انفعالات میان ذرات (یک مسئله چند ذره‌ای) باشد؛ بنابراین انرژی پتانسیل V می‌تواند در پیکر بندی فضایی ذرات و احتمالاً تغییر زمان، تغییر کند انرژی پتانسیل در کل از مجموع انرژی پتانسیل برای هر ذره تشکیل نشده است. این یک تابع برای موقعیت فضایی هر ذره است در واقع:
 
<math>E=\sum_{n=1}^N \frac{\boldmathbf{p}_n\cdot\boldmathbf{p}_n}{2m_n} + V(\boldmathbf{r}_1,\boldmathbf{r}_2\cdots\boldmathbf{r}_N,t) = H \,\!</math>
 
== روابط دوبروی ==
رابطه پلانک – انیشتین و دوبروی:
 
<math>E=\hbar\omega, \quad \boldmathbf{p}=\hbar\boldmathbf{k} </math>
 
رابطه‌ای میان فضا با تکانه، انرژی با زمان را مشخص می‌کند؛ که اگر در معادلات بالا ħ'' = ۱'' معادلات زیر بدست می‌آید:
 
<math>E=\omega, \quad \boldmathbf{p}=\boldmathbf{k} </math>
 
انرژی و بسامد زاویه‌ای هر دو یک بعد دارند که با زمان رابطه مستقیمی دارند، تکانه و ععد موج هر دو با طول موج رابطه عکسی دارند.
در اواخر ۱۹۲۵ نظریهٔ شرودینگر بیانگر این بود که فاز امواج تخت، مانند فاکتور فازی پیچیده در این روابط استفاده می‌شود.
 
<math>\Psi = Ae^{i(\boldmathbf{k}\cdot\boldmathbf{r}-\omega t)} = Ae^{i(\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{r}-Et)/\hbar} </math>
 
و برای دانستن مشتقات جزئی مرتبه اول نسبت به مکان:
 
<math> \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\boldmathbf{p}Ae^{i(\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\boldmathbf{p}\Psi </math>
 
و زمان:
 
<math> \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} Ae^{i(\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi </math>
 
حاکی از مشتقات
 
<math> \begin{matrix} -i\hbar\nabla\Psi = \boldmathbf{p}\Psi & \rightarrow & -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi = \dfrac{1}{2m}\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{p}\Psi \\
\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi & \rightarrow & i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = E \Psi \\
\end{matrix} </math>
با ضرب ''Ψ'' در معادله انرژی
 
<math>E= \dfrac{\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{p}}{2m}+V \rightarrow E\Psi= \dfrac{\boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{p}}{2m}\Psi+V\Psi</math>
 
بلافاصله معادله شرودینگر به دست می‌آید:
<math>\hat{E}= i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} </math>
 
و عملگر تکانه بر اساس مشتقات فضایی:<math>\boldmathbf{\hat{p}}= -i\hbar\nabla</math> می‌باشد.
این‌ها عملگرهای دیفرانسیلی هستند، که به جز انرژی پتانسیل '''V''' که فقط یک فاکتور ضربی است. جایگذاری این عملگرها در معادله انرژی توسط ''Ψ'' به همان معادله موج بر می‌گردد؛ و نکته جالب این است که انرژی و تکانه یک تقارن با زمان دارد و اینها دلایلی هستند که در آن انرژی و تکانه پایسته می‌مانند.
انرژی جنبشی ''T'' با مربع تکانه '''p'''رابطه دارد. وقتی تکانه ذره، افزایش می‌یابد انرژی جنبشی به سرعت افرایش پیدا می‌کند. اما وقتی عدد موج '''k''' افزایش پیدا می‌کند طول موج <math>\scriptstyle \lambda</math> کاهش می‌یابد
 
<math> \boldmathbf{p}\cdot\boldmathbf{p} \propto \boldmathbf{k}\cdot\boldmathbf{k} \propto T \propto |\nabla^2\Psi| \propto \dfrac{1}{\lambda^2}</math>
 
== جواب برای معادله ==
جواب عمومی معادله می‌تواند به راحتی در قسمت پایین دیده شود. امواج تخت قطعاً یک جواب است چون برای بدست آوردن تابع استفاده شده‌است. همچنین هر ترکیب خطی از امواج ساده یک جواب است. برای هر '''k'''های گسسته، هر ترکیب خطی، یک برهم نهی امواج تخت است
 
<math> \Psi(\boldmathbf{r},t) = \sum_{n=1}^\infty A_n e^{i(\boldmathbf{k}_n\cdot\boldmathbf{r}-\omega_n t)} \,\!</math>
 
و برای '''k'''های پیوسته هر ترکیب خطی، یک انتگرال است که بسط فوریهٔ تکانهٔ فضایی تابع موج است
 
<math> \Psi(\boldmathbf{r},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3}\int\Phi(\boldmathbf{k})e^{i(\boldmathbf{k}\cdot\boldmathbf{r}-\omega t)}d^3\boldmathbf{k} \,\!</math>
 
که ''d''<sup>3</sup>'''k''' = ''dk<sub>x</sub>dk<sub>y</sub>dk<sub>z</sub>'' می‌باشد؛ که انتگرال به روی فضای '''k''' گرفته می‌شود و تابع موج در فضای تکانه ('''Φ('''k از زیر انتگرال به دست می‌آید. از آنجایی که اینها معادله شرودینگر را اغنا می‌کند، جواب معادله شرودینگر برای شرایط داده شده فقط برای بدست آوردن امواج تخت، استفاده نمی‌شود، بلکه هر تابع موجی که معادله شرودینگر، به دست آمده از سیستم، علاوه بر شرایط مرزی مربوط، را اغنا کند، استفاده می‌شود. می‌توان نتیجه گرفت معادله شرودینگر برای شرایطی (غیر نسبیتی) درست است.
یک جواب معادله مستقل از زمان، یک ویژه حالت انرژی ''E'' نامیده می‌شود. برای پیدا کردن حالت وابستگی زمانی از معادله وابسته به زمان با شرایط اولیهٔ ('''ψ('''r شروع می‌کنیم. مشتق زمانی در t'' = ۰'' متناسب است با
 
<math> \left.i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\boldmathbf{r},t)\right|_{t=0}= \left.H \Psi(\boldmathbf{r},t)\right|_{t=0} =E \Psi(\boldmathbf{r},0) \,</math>
 
بنابراین معادله را به دو بخش زمانی و مکانی تفکیک کرده و معادله کلی حاصلضرب این دو است پس برای هر زمان ''t'':
 
<math> \Psi(\boldmathbf{r},t)= \tau(t) \psi(\boldmathbf{r}) \,</math>
 
اکنون ''Ψ'' را جایگذاری می‌کنیم:
 
<math> i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t } = E \Psi \rightarrow i\hbar \psi(\boldmathbf{r})\frac{\partial\tau(t)}{\partial t } = E \tau(t)\psi(\boldmathbf{r}) \,</math>
 
که در این حالت ('''ψ('''r حذف شده معادله برای <math> \scriptstyle \tau(t)\,\!</math> حل می‌شود که یک جواب معادلهٔ وابسته به زمان را با شرایط اولیه بیان می‌کند.
 
<math> \Psi(\boldmathbf{r},t) = \psi(\boldmathbf{r}) e^{-i{E t/\hbar}} = \psi(\boldmathbf{r}) e^{-i{\omega t}} \,</math>
 
این موضوع جواب معادله وابسته به زمان امواج ایستاده را بیان می‌کند که حالتی با انرژی مشخص است. (که به جای توزیع احتمالاتی برای انرژِی‌های متفاوت) در فیزیک این امواج ایستاده حالت پایا یا ویژه حالت انرژی نامیده می‌شود.