تفاوت میان نسخه‌های «تابع»

۱۷۰ بایت اضافه‌شده ،  ۱ سال پیش
جز
جز
برچسب‌ها: ویرایش با تلفن همراه ویرایش با مرورگر تلفن همراه متن دارای ویکی‌متن نامتناظر ویرایش‌گر دیداری
برچسب‌ها: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر ویرایش‌گر دیداری
تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط [[گوتفرید لایبنیتس]] در سال [[۱۶۹۴ (میلادی)|۱۶۹۴]]، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک [[منحنی]] مانند [[شیب]] یک نمودار در یک [[نقطه]] خاص به‌وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط [[گوتفرید لایبنیتس]]<nowiki/>تعریف شدند، [[مشتق|توابع مشتق‌پذیر]] می‌گوییم.
 
واژۀواژه‌ی تابع بعدها توسط [[لئونارد اویلر]] در [[قرن هجدهم]]، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند ''f''(''x'') = sin(''x'') + ''x''<sup>3</sup>.
 
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس [[نظریه مجموعه‌ها]] کردند. [[وایراشتراس]] بیشتر خواهان به‌وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در [[ریاضی|علم حساب]] بود تا در [[هندسه]]، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
 
در ابتدا، ایدهایده‌ی تابع ترجیحاً محدود شد. [[ژوزف فوریه]] مدعی بود که تمام توابع از [[سری فوریه]] پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعهمطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنهدامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط [[وایراشتراس]] معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به [[توابع پیوسته]] و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
 
تا انتهای [[قرن نوزدهم]] ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. [[دیریکله]] و [[لوباچوسکی]] هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
 
بر طبق این تعریف، [[تابع حالت|تابع، حالت]] خاصی از یک [[رابطه]] است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویهثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد.
 
تعریف تابع در [[علم رایانه]]، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.
 
== در دیگر دانش‌ها ==
تابع‌ها در شاخه‌های گوناگون دانش کاربرد فراوان دارند. برای نمونه در [[فیزیک]]، هنگامی که می‌خواهیم رابطهرابطه‌ی بین چند متغیر را بیان کنیم، به ویژه هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است، از تابع بهره می‌بریم.
 
تابع در دانش‌های گوناگون بیشتر به عنوان عملگر است که کاری را بر روی داده‌های ورودی انجام میدهدمی‌دهد. تابع را همچنین مورد استفاده در [[علم رایانه]] برای مدل‌سازی [[ساختمان داده]]‌ها و تأثیرات [[الگوریتم لگاریتم پورممی ]] نمی‌بینیم.
 
== تعریف تابع ==
تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ [[دامنه]] و [[برد (ریاضی)|برد]] تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر <math>A</math> و <math>B</math> دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ <math>A</math> به مجموعهٔ <math>B</math> را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعهمجموعه‌ی <math>A</math> چونمانند <math>a</math>، یک و فقط یک عضو از مجموعهمجموعه‌ی <math>B</math> را چونمانند <math>f(a)</math> نسبت می‌دهد. تابع <math>f</math> از مجموعهمجموعه‌ی <math>A</math> به مجموعهمجموعه‌ی <math>B</math> را با <math>f:A\to B</math> نشان می‌دهیم.
 
[[پرونده:Multivalued function.svg|بندانگشتی|شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست.]]
[[پرونده:Total function.svg|بندانگشتی|چپ|شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع]]
برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهندهنمایش‌دهنده‌ی یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه <math>X</math> به ''دو عضو'' (<math>b</math> و <math>c</math>) از <math>Y</math> متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه <math>X</math> به یک عضو خاص از <math>Y</math> نسبت داده شده‌اند.
 
تابع <math>f</math> به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوهنحوه‌ی تناظر اعضای <math>A</math> به <math>B</math> نیست که به‌طور کامل به‌وسیله همه [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] <math>(a,f(a))</math> برای هر <math>a \in A</math> مشخص می‌شود. پس تابع <math>f</math> را می‌توان به عنوان '''مجموعهمجموعه‌ی''' همه این زوجهایزوج‌های مرتب، یعنی مجموعهمجموعه‌ی همه زوج‌های مرتبی که مؤلفه اول آن‌ها عضو <math>A</math> بوده و مؤلفه دوم آن‌ها تصویر مؤلفه اول تحت تابع <math>f</math> در <math>Y</math> است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع <math> f</math> دارای مؤلفهمؤلفه‌ی اول یکسان نخواهند بود.
 
در این صورت در تابع <math>f:A \to B</math> برای هر <math>a \in A</math> گزارهگزاره‌ی <math>(a,b) \in f</math> را به صورت <math>b=f(a)</math> نشان می‌دهیم.
 
=== تعریف دقیق ===
 
=== علامت‌ها ===
برای هر <math>x \in X</math>، یگانه عضو <math>y</math> در <math>Y</math> که به ازای آن <math>(x,y) \in f</math> را با <math>f(x)</math> نشان می‌دهیم. در مورد تابعتابع، این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی ترکلی‌تر استفاده می‌شوند چون <math>(x,y) \in f</math> یا <math>xfy</math> را متروک ساخته‌است. از این پس اگر <math>f</math> یک تابع باشد، به جای <math>(x,y) \in f</math> یا <math>xfy</math> می‌نویسیم <math>y=f(x)</math>. عضو <math>y</math> را ''مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه <math>x</math>'' یا '' تصویر <math>x</math> تحت <math>f</math>'' می‌گوییم و نیز <math>x</math> را ''پیش نگاره'' <math>y</math> می‌گوییم.
 
اگر <math>f</math> تابعی از [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] <math>X</math> به (''در'' یا ''به توی'') [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] <math>Y</math> باشد، این مطلب را به صورت سه تایی <math>(f,X,Y)</math> یا به‌طور معمول تر برای توابع با <math>f:X \to Y</math> نشان می‌دهیم.
 
== مشخص کردن تابع ==
برای مشخص کردن یک تابع باید ''دامنه'' و ''ضابطهضابطه‌ی'' آن را بشناسیم. منظور از ''ضابطه یک تابع''<math> f:X \to Y</math>، فرمول یا دستوری است که برطبق آن برای هر <math>x \in X</math>، مقدار تابع <math>f</math> در <math>x</math> یعنی <math>f(x)</math> تعیین می‌شود. ضابطهضابطه‌ی تابع را می‌توان به صورت یک گزارهگزاره‌ی جبری، مجموعه‌ای از [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] یا یک [[رابطه بازگشتی|رابطه‌ی بازگشتی]] مشخص کرد.
 
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> می‌نویسیم <math>f:X \to Y</math> و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.
۲۶

ویرایش