تابع: تفاوت میان نسخه‌ها

واژۀواژه‌ی تابع بعدها توسط [[لئونارد اویلر]] در [[قرن هجدهم]]، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند ''f''(''x'') = sin(''x'') + ''x''³.

در ابتدا، ایدهایده‌ی تابع ترجیحاً محدود شد. [[ژوزف فوریه]] مدعی بود که تمام توابع از [[سری فوریه]] پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعهمطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنهدامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط [[وایراشتراس]] معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به [[توابع پیوسته]] و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

بر طبق این تعریف، [[تابع حالت|تابع، حالت]] خاصی از یک [[رابطه]] است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویهثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد.

تابع‌ها در شاخه‌های گوناگون دانش کاربرد فراوان دارند. برای نمونه در [[فیزیک]]، هنگامی که می‌خواهیم رابطهرابطه‌ی بین چند متغیر را بیان کنیم، به ویژه هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است، از تابع بهره می‌بریم.

تابع در دانش‌های گوناگون بیشتر به عنوان عملگر است که کاری را بر روی داده‌های ورودی انجام میدهدمی‌دهد. تابع را همچنین مورد استفاده در [[علم رایانه]] برای مدل‌سازی [[ساختمان داده]]‌ها و تأثیرات [[الگوریتم لگاریتم پورممی ]] نمی‌بینیم.

تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ [[دامنه]] و [[برد (ریاضی)|برد]] تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر <math>A</math> و <math>B</math> دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ <math>A</math> به مجموعهٔ <math>B</math> را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعهمجموعه‌ی <math>A</math> چونمانند <math>a</math>، یک و فقط یک عضو از مجموعهمجموعه‌ی <math>B</math> را چونمانند <math>f(a)</math> نسبت می‌دهد. تابع <math>f</math> از مجموعهمجموعه‌ی <math>A</math> به مجموعهمجموعه‌ی <math>B</math> را با <math>f:A\to B</math> نشان می‌دهیم.

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهندهنمایش‌دهنده‌ی یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه <math>X</math> به ''دو عضو'' (<math>b</math> و <math>c</math>) از <math>Y</math> متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه <math>X</math> به یک عضو خاص از <math>Y</math> نسبت داده شده‌اند.

تابع <math>f</math> به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوهنحوه‌ی تناظر اعضای <math>A</math> به <math>B</math> نیست که به‌طور کامل به‌وسیله همه [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] <math>(a,f(a))</math> برای هر <math>a \in A</math> مشخص می‌شود. پس تابع <math>f</math> را می‌توان به عنوان '''مجموعهمجموعه‌ی''' همه این زوجهایزوج‌های مرتب، یعنی مجموعهمجموعه‌ی همه زوج‌های مرتبی که مؤلفه اول آن‌ها عضو <math>A</math> بوده و مؤلفه دوم آن‌ها تصویر مؤلفه اول تحت تابع <math>f</math> در <math>Y</math> است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع <math> f</math> دارای مؤلفهمؤلفه‌ی اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع <math>f:A \to B</math> برای هر <math>a \in A</math> گزارهگزاره‌ی <math>(a,b) \in f</math> را به صورت <math>b=f(a)</math> نشان می‌دهیم.

برای هر <math>x \in X</math>، یگانه عضو <math>y</math> در <math>Y</math> که به ازای آن <math>(x,y) \in f</math> را با <math>f(x)</math> نشان می‌دهیم. در مورد تابعتابع، این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی ترکلی‌تر استفاده می‌شوند چون <math>(x,y) \in f</math> یا <math>xfy</math> را متروک ساخته‌است. از این پس اگر <math>f</math> یک تابع باشد، به جای <math>(x,y) \in f</math> یا <math>xfy</math> می‌نویسیم <math>y=f(x)</math>. عضو <math>y</math> را ''مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه <math>x</math>'' یا '' تصویر <math>x</math> تحت <math>f</math>'' می‌گوییم و نیز <math>x</math> را ''پیش نگاره'' <math>y</math> می‌گوییم.

برای مشخص کردن یک تابع باید ''دامنه'' و ''ضابطهضابطه‌ی'' آن را بشناسیم. منظور از ''ضابطه یک تابع''<math> f:X \to Y</math>، فرمول یا دستوری است که برطبق آن برای هر <math>x \in X</math>، مقدار تابع <math>f</math> در <math>x</math> یعنی <math>f(x)</math> تعیین می‌شود. ضابطهضابطه‌ی تابع را می‌توان به صورت یک گزارهگزاره‌ی جبری، مجموعه‌ای از [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] یا یک [[رابطه بازگشتی|رابطه‌ی بازگشتی]] مشخص کرد.