آزمون خطای استاندارد میانگین: تفاوت میان نسخه‌ها

'''آزمون Z''' نوعی آزمون آماری است که توزیع آماره‌ی آزمون تحت فرضیه‌ی صفر می‌تواند به صورت یک توزیع نرمال تخمین زده‌شود. به علت قضیه‌ی[[قضیه حد مرکزی]] بیشتر آماره‌های آزمون برای تعداد زیاد نمونه، به صورت تقریبی با توزیع نرمال قابل تخمین زدن هستند. برای هر سطحی معنادار بودن آزمون ''Z'' یک مقدار بحرانی دارد (برای مثال ۱/۹۶ برای ۵٪ دو طرفه) که نسبت به [[آزمون تی استیودنت|آزمون ''t'']] راحتی بیشتری ایجاد می‌کند زیرا در [[آزمون تی استیودنت|آزمون ''t'']] برای هر تعداد نمونه یک مقدار بحرانی مشخص وجود دارد. برای همین در بیشتر آزمون‌های آماری در صورتی که [[واریانس]] جمعیت مشخص باشد یا تعداد نمونه‌ها زیاد باشد به‌راحتی می‌توان به صورت تقریبی از آزمون ''Z'' استفاده کرد. در صورتی که [[واریانس]] جمعیت مشخص نباشد (و لازم باشد که از روی نمونه‌ها به‌دست آورده شود) یا تعداد نمونه‌ها کم باشد (کم‌تر از ۳۰)، [[آزمون تی استیودنت|آزمون ''t'']] مناسب‌تر از این آزمون است.

اگر ''T'' یک آماره باشد که تحت فرض صفر به صورت تقریبی از توزیع نرمال پیروی کند، قدم بعدی برای انجام دادن آزمون ''Z'' محاسبه‌ی امید ریاضی ''T'' است. فرض کنید مقدار آن θ باشد. در این صورت اگر [[انحراف معیار]] ''T'' را نیز حساب کنیم و آن‌را ''s'' بنامیم، عدد ''Z'' به‌دست آمده برابر <math> Z = \frac{(T - \theta)}{s} </math> خواهد بود که با استفاده از این عدد می‌توانیم [[پی-مقدار]] یک‌طرفه یا دوطرفه را حساب کنیم. این مقدار برای آزمون یک‌طرفه برابر <math> \Phi(Z) </math> برای سمت راست یا <math> \Phi(-Z) </math> برای سمت چپ است. در آزمون دوطرفه نیز این مقدار برابر <math> 2\Phi(|Z|) </math> است که <math> \Phi </math> همان تابع استاندارد توزیع تجمعی نرمال است.

* پارامتر‌های [[:en:Nuisance parameter|Nuisance]] باید مشخص باشد یا با دقت بالایی تخمین زده‌شود (یکی از مثال‌های این پارمتر [[انحراف معیار]] است). آزمون ''Z'' فقط روی یک پارمتر تمرکز دارد و تمام پارمترهای نامشخص را به صورت ثابت در مقدار واقعی [و نا مشخص] آن‌ها فرض می‌کند.

* آماره‌ی آزمون باید از توزیع نرمال پیروی کند. بعضی‌ها ممکن است با قضیه‌ی[[قضیه حد مرکزی]] توجیه کنند که آماره‌ی آزمون از توزیع نرمال پیروی می‌کند. تحقیق‌های بسیاری در این زمینه انجام شده‌است که در چه مواقعی آماره‌ی آزمون به صورت تقریبی از توزیع نرمال پیروی می‌کند. اگر این آماره به صورت قوی از نرمال پیروی نکند، آزمون ''Z'' نباید استفاده شود.

فرض کنید که در یک منطقه‌ی جغرافیایی میانگین و [[انحراف معیار]] نمرات یک امتحان به ترتیب ۱۰۰ نمره و ۱۲ نمره باشد. می‌خواهیم نمرات ۵۵ دانش‌آموز را در مدرسه‌ای بررسی کنیم. میانگین نمرات این دانش‌آموزان ۹۶ است. حال سوال این است که آیا میانگین این دانش‌آموزان به صورت معنا داری پایین‌تر از دانش‌آموزان منطقه است یا خیر.

که <math>{\sigma}</math> [[انحراف معیار]] جمعیت است.

در این مثال فرض کردیم که [[واریانس]] نمونه‌ها و جمعیت مشخص است، که این فرض در صورتی که از تمام دانش‌آموزان منطقه امتحان را بگیریم فرض درستی است. وقتی که پارامترهای جمعیت نامشخص باشند باید از آزمون t استفاده کرد.

میانگین مدرسه برابر ۹۶ است که ۲/۴۷- تا واحد [[انحراف معیار]] استاندارد از میانگین جمعیت (که برابر با ۱۰۰ است) دورتر است. حال اگر این مقدار را در جدول مقادیر توزیع نرمال استاندارد (توزیع نرمالی با میانگین ۰ و [[انحراف معیار]] ۱) جست‌وجو کنیم، احتمال اینکه عدد ۲/۴۷- یا کم‌تر را مشاهده کنیم تقریباً برابر ۰/۰۰۶۸ = ۰/۴۹۳۲ - ۰/۵ است. این [[پی-مقدار]] یک‌طرفه برای فرضیه‌ی صفر "۵۵ دانش‌آموز این مدرسه در امتحان میانگین نمره یکسانی با دانش‌آموزان منطقه دارند" است. همچنین [[پی-مقدار]] دوطرفه‌ی آن نیز برابر ۰/۰۱۴ (دو برابر [[پی-مقدار]] یک‌طرفه) است.

به عبارتی دیگر به احتمال ۰/۹۸۶ یک نمونه‌گیری تصادفی ۵۵ تایی از دانش‌آموزان میانگینی خواهند داشت که داخل بازه‌ی ۴ [[انحراف معیار]] از میانگین جمعیت است. یعنی با اطمینان ۹۸/۶٪ ما فرضیه‌ی صفر را رد می‌کنیم (چون میانگینی که به‌دست آوردیم فقط به احتمال ۰/۰۱۴ به وقوع می‌پیوندد)