تکانه: تفاوت میان نسخه‌ها

{{مکانیک کلاسیک}}

[[پرونده:Newtons cradle animation book 2.gif|بندانگشتی|پویانمایی (انیمیشن) گهوارهٔ نیوتن]]

'''تکانه'''، '''اندازه حرکت''' (ترجمه از لفظ فرانسوی quantité de mouvement) یا '''مومنتوم''' {{به انگلیسی|momentum}} از [[کمیت برداری|کمیت‌های برداری]] در [[فیزیک]] است. حاصل‌ضرب [[جرم (فیزیک)|جرم]] شیء در [[سرعت]] آن در هر لحظه، تکانه شیء در آن لحظه است؛ یعنی:

:<math>\vec{{p}} =m{\vec{v}} </math>

{{پایان}}

== تکانهٔ خطی ذره ==

[[آیزاک نیوتن|نیوتن]] در کتاب [[اصول ریاضی فلسفه طبیعی|اصول]]، [[قانون دوم نیوتون|قانون دوم حرکت]] خود را بر اساس مفهوم تکانهٔ خطی بیان کرده‌است: ''[[برآیند]] همهٔ [[نیرو]]های وارد شده بر یک [[ذره]] با نرخ تغییرات زمانی تکانهٔ خطی ذره برابر است. '' بنابراین:

:<math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} \,\!</math>

{{پایان}}

 

با جایگزینی <math>\mathbf{p} =m\mathbf{v} </math> و محاسبهٔ [[مشتق]] [[حاصل ضرب]] داریم:

:<math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t} ={\mathrm{d}m \over \mathrm{d}t}\mathbf{v}+ m{\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} \,\!</math>

{{پایان}}

 

با فرض آن که [[جرم (فیزیک)|جرم]] سیستم ثابت باشد، جملهٔ اول در طرف راست معادلهٔ بالا حذف می‌شود و می‌توان نوشت:

:<math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t} = m{\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = m\mathbf{a} \,\!</math>

{{پایان}}

== تکانهٔ خطی [[سیستم بس ذره‌ای]] ==

تکانهٔ خطی یک سیستم بس ذره‌ای (سیستم متشکل از دو یا چند ذره) به صورت حاصل جمع تکانه‌های خطی تک تک ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم تعریف می‌شود:

:<math>\mathbf{P} = \sum_{i = 1}^N \mathbf{p}_i = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+ \cdots +\mathbf{p}_N=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+ \cdots +m_N\mathbf{v}_N \,\!</math>

{{پایان}}

[[مرکز جرم]] یک سیستم بس ذره‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود:

:<math>M\mathbf{r}_{cm} = \sum_{i = 1}^N m_i\mathbf{r}_i = m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+ \cdots +m_N\mathbf{r}_N \,\!</math>

{{پایان}}

که در آن، <math>r</math> جرم کل سیستم (مجموع جرم‌های همهٔ ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم) است:

:<math>M = \sum_{i = 1}^N m_i = m_1 + m_2 + \cdots +m_N \,\!</math>

{{پایان}}

با توجه تعریف به [[بردار]] [[سرعت]]، اگر از طرفین معادلهٔ بالا نسبت به زمان مشتق بگیریم، به نتیجهٔ زیر می‌رسیم

:<math>M\mathbf{V}_{cm} = \sum_{i = 1}^N m_i\mathbf{v}_i = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+ \cdots +m_N\mathbf{v}_N \,\!</math>

{{پایان}}

بنابراین، به جای مطالعهٔ حرکت تک تک ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم، می‌توان فرض کرد که ذره‌ای با جرم کل <math>M</math> در مرکز جرم سیستم قرار گرفته و با سرعت <math>\mathbf{V}_{cm}</math> در حال حرکت است. تکانهٔ خطی این ذره برابر تکانهٔ خطی کل سیستم خواهد بود:

:<math>\mathbf{P} = \mathbf{P}_{cm} = M\mathbf{V}_{cm} \,\!</math>

{{پایان}}

 

با مشتق‌گیری از رابطهٔ بالا نسبت به زمان، [[قانون دوم نیوتون]] برای سیستم بس ذره‌ای به شکل حاصل می‌شود:

:<math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{P} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}\mathbf{P}_{cm} \over \mathrm{d}t} \,\!</math>

{{پایان}}

طرف چپ معادلهٔ بالا نشان دهندهٔ [[برآیند]] همهٔ [[نیروهای داخلی]] و خارجی وارد بر همهٔ ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم است. در یک سیستم <math>N</math> ذره‌ای، هر یک از ذرات تشکیل دهنده، هم تحت تاءثیر محیط و هم تحت تاءثیر <math>(N-1)</math> ذرهٔ دیگر (همهٔ ذرات سیستم به جز خودش) است. پس هر ذره، علاوه بر نیروهایی که از طرف [[محیط سیستم]] به آن وارد می‌شود، <math>(N-1)</math> نیرو از <math>(N-1)</math> ذرهٔ داخل سیستم دریافت می‌کند.

:<math>\mathbf{f}_i = \mathbf{f}_{i}^{ext} + (\mathbf{f}_{1\rightarrow i}^{int}+\mathbf{f}_{2\rightarrow i}^{int}+ \cdots +\mathbf{f}_{(i-1)\rightarrow i}^{int} + \mathbf{f}_{(i+1)\rightarrow i}^{int} + \cdots + \mathbf{f}_{N\rightarrow i}^{int}) \,\!</math>

{{پایان}}

در این معادله، <math>\mathbf{f}_{i}^{ext}</math> برآیند نیروهای خارجی وارد شده به ذرهٔ <math>i</math>ام و <math>\mathbf{f}_{j\rightarrow i}^{int}</math> نیروی وارد شده از ذرهٔ <math>j</math> ام به ذرهٔ <math>i</math> ام هستند. بنا به [[قانون سوم نیوتن]]، اگر ذرهٔ <math>j</math> ام نیروی <math>\mathbf{f}_{j\rightarrow i}^{int}</math> را به ذرهٔ <math>i</math> ام وارد کند، ذرهٔ <math>i</math> ام نیز نیروی <math>\mathbf{f}_{i\rightarrow j}^{int} = -\mathbf{f}_{j\rightarrow i}^{int} </math> را به ذرهٔ <math>j</math> ام وارد خواهد کرد. در نتیجه، در محاسبهٔ نیروی کل وارد بر کل سیستم <math>N</math> ذره‌ای، علاوه بر نیروهای خارجی، <math>N</math> نیروی داخلی هم داریم که دو به دو همدیگر را حذف می‌کنند؛ بنابراین،

:<math>\mathbf{F} = \mathbf{F}_{ext} = \sum_{i=1}^N \mathbf{f}_{i}^{ext} = \mathbf{f}_{1}^{ext} + \mathbf{f}_{2}^{ext} + \cdots + \mathbf{f}_{N}^{ext} \,\!</math>

{{پایان}}

یعنی این که، نیروهای داخلی سیستم اثری بر رفتار کل سیستم ندارند و در مطالعهٔ [[دینامیک سیستم]] کافی است فقط نیروهای خارجی را در نظر بگیریم.

:<math>\mathbf{F}_{ext} = {\mathrm{d}\mathbf{P} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}\mathbf{P}_{cm} \over \mathrm{d}t} \,\!</math>

{{پایان}}

== قانون پایستگی تکانهٔ خطی ==

اگر هیچ نیروی خارجی بر سیستم اثر نکند یا برآیند نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، تکانهٔ خطی سیستم با گذشت زمان ثابت می‌ماند. به زبان ریاضی:

:<math>\mathbf{F}_{ext} = 0 \Rightarrow {\mathrm{d}\mathbf{P} \over \mathrm{d}t} = 0 \Rightarrow \mathbf{P} = Const. \,\!</math>

{{پایان}}

نتیجهٔ حاصل به '''قانون پایستگی تکانهٔ خطی''' معروف است. هم نیرو و هم تکانهٔ خطی کمیت‌هایی برداریند، بنابراین در هر جهتی که مؤلفهٔ نیروی برآیند صفر باشد مؤلفهٔ تکانهٔ خطی در آن جهت با گذشت زمان پایسته می‌ماند (مستقل از این که در جهات دیگر پایسته هست یا نه). به عنوان نمونه، در [[دستگاه مختصات دکارتی]] سه بعدی، که

:<math>\mathbf{F}_{ext} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k} \qquad \mathbf{P} = P_x\mathbf{i} + P_y\mathbf{j} + P_z\mathbf{k} \,\!</math>

{{پایان}}

 

در [[موتور جت]] سوخت با هوای وارد شده از دهانهٔ جلویی موتور مخلوط می‌شود و گاز متراکم داغی در اثر سوختن حاصل می‌گردد. گاز داغ و بدنهٔ موتور اجزای تشکیل دهندهٔ یک سیستم دو جزئی هستند. این سیستم دو جزئی تکانهٔ خطی مشخصی دارد؛ وقتی گاز داغ با فشار به سمت بیرون هدایت می‌شود، تکانهٔ خطی هر دو جزء تغییر می‌کند. چون نیروهای مبادله شده بین گاز و موتور نیروهای داخلی سیستم دو جزئی هستند و هیچ نیروی خارجی در امتداد حرکت [[موتور جت]] بدان وارد نمی‌شود، تکانهٔ خطی کل سیستم دو جزئی ثابت می‌ماند؛ بنابراین، تغییر تکانهٔ اجزاء به گونه ایست که کل تغییرات صفر باشد؛ اگر <math>\Delta\mathbf{p}_1</math> و <math>\Delta\mathbf{p}_2</math> به ترتیب نشان دهندهٔ تغییرات تکانهٔ خطی گاز و بدنه باشند، داریم:

:<math>\Delta\mathbf{p}_1 + \Delta\mathbf{p}_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \Delta\mathbf{p}_1 = -\Delta\mathbf{p}_2 \,\!</math>

{{پایان}}

 

پدیدهٔ [[پس زنی]] [[تفنگ]] را هم به همین ترتیب می‌توان مورد بحث قرار داد. فرض کنید قبل از شلیک، تفنگ و گلوله هر دو ساکن باشند؛ اگر جرم تفنگ و گلوله را، به ترتیب با <math>M</math> و <math>m</math>، و سرعت‌های آن دو بعد از شلیک را به ترتیب با <math>V</math> و <math>v</math> نشان دهیم:

:<math>0 = m \mathbf{v} + M \mathbf{V} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{V} = - {m \over M} \mathbf{v} \,\!</math>

{{پایان}}