بستار (ریاضی): تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
جز بستار رابطه ها به بستار (ریاضی) منتقل شد |
بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱:
{{بدون منبع}}
در ریاضی یک [[مجموعه]] را نسبت به یک عمل '''بسته''' میگویند٬ اگر آن عمل روی [[عضو مجموعه|اعضای مجموعه]] یک عضو از همان مجموعه را تولید کند. برای نمونه [[اعداد حقیقی]] نسبت به عمل [[تفریق]] بسته هستند اما [[اعداد طبیعی]] نه. اگر یک مجموعه مانند S نسبت به عملی مثل * بسته نباشد، کوچکترین مجموعهای شامل S که نسبت به * بسته باشد '''بستار''' S خوانده میشود
== بستار رابطهها ==
فرض کنید R رابطهای روی مجموعهٔ A باشد. R ممکن است بعضی از ویژگیها مثلا ویژگی P (که میتواند بازتابی, تقارنی, تعدی و
در زیر بستار رابطههای بازتابی, تقارنی و تعدی را میبینیم.
=== بستار بازتابی ===
رابطهٔ {(R={(1,1),(1,2),(2,1),(3,2 روی مجموعهٔ {A={1,2,3 را در نظر بگیرید R بازتابی نیست برای اینکه R را بازتابی کنیم کافی است دو عضو (2,2) و (3,3) را به R اضافه کنیم چون این دو عضو تنها دو عضو به شکل (a,a) هستند که a عضو A است و (a,a) عضو A نیست. رابطهٔ بازتابی ساخته شده شامل رابطهٔ R است همچنین این رابطه زیرمجموعهٔ همهٔ روابط بازتابی است که R زیر مجموعهٔ آنهاست پس این مجموعهٔ جدید بستار بازتابی رابطهٔ R است.
در حالت کلی برای اینکه بستار بازتابی رابطهٔ R را بدست آوریم کافی است همهٔ عضوهای (a,a) متمایز ممکن که a عضو مجموعهٔ A باشد و (a,a) عضو R نباشد را به R اضافه کنیم پس اگر تعریف کنیم { Δ={(a,a) | a ∈ A بستار بازتابی R از رابطهٔ R∪Δ بدست میآید (Δ رابطهٔ قطری روی A نامیده میشود)
=== بستار تقارنی ===
رابطهٔ {(R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2 روی مجموعهٔ {A={1,2,3 را در نظر بگیرید این رابطه تقارنی نیست. برای اینکه R را تقارنی کنیم کافی است دو عضو (1,3) و (2,1) را به R اضافه کنیم زیرا این دو تنها
از این مثال میتوان نتیجه گرفت که بستار تقارنی R با اضافه کردن هر عضو به فرم (a,b) به R بدست میآید به شرط اینکه (b,a) عضو R باشد ولی خود (a,b) عضو R نباشد. اگر تعریف کنیم {R<sup>-1</sup>={(a,b)|(b,a)∈R بستار تقارنی R از رابطهٔ R∪R<sup>-1</sup> بدست میآید.(R<sup>-1</sup> رابطهٔ معکوس رابطهٔ R نامیده میشود.)
=== بستار تعدی ===
فرض کنید میخواهیم بستار تعدی رابطهٔ R را بدست آوریم آیا اضافه کردن هر عضو به فرم (a,c) به R به شرط اینکه (a,b) و(b,c) عضو R باشند کافی است؟
سطر ۲۰ ⟵ ۲۱:
رابطهٔ {(R={(1,3),(1,4),(2,1),(3,2 روی مجموعهٔ {A={1,2,3,4 را در نظر بگیرید.
این رابطه تعدی نیست زیرا شامل همهٔ عضوهای (a,c) به شرط اینکه (a,b) و (b,c) عضو R باشند نمیشود.
برای بدست آوردن تعریف کلی به چند تعریف اولیه نیاز داریم که در زیر آمدهاست.
سطر ۲۶ ⟵ ۲۷:
ترکیب دو تابع:
:فرض کنید R رابطهای از A به B ,S رابطهای از B به C باشد, رابطهٔ SoR رابطهای از A به C است که شامل همهٔ
R<sup>n</sup>:
سطر ۴۲ ⟵ ۴۳:
این مطلب را به صورت شهودی اثبات میکنیم اثبات دقیق آن با استفاده از نظریه گرافها ممکن است.
گفتیم در مرحلهٔ اول برای اینکه R تعدی کنیم لازم است همهٔ اعضای (a,c) که (a,b) و (b,c) عضو R است ولی خودشان عضو R نیستند را به R اضافه کنیم این مطلب معادل با این است که R<sup>2</sup> یا RoR را با R اجتماع کنیم به عبارت دیگر R∪R<sup>2</sup>
پس میتوان رابطهٔ بهتری به صورت R∪R<sup>2</sup>∪R<sup>3</sup> نوشت و به بستار تعدی R نزدیک تر شد اما این کافی نیست. به صورت بالا میتوان مشاهده کرد که برای بدست آوردن بستار تعدی R لازم است اجتماع R<sup>n</sup>ها (n∈N) را بدست آوریم یا همان:
R<sup>*</sup> = <math>\bigcup_{n=1}^{\infty}</math> R<sup>n</sup>
[[رده:توپولوژی]]
[[رده:نظریههای زوجیت]]
[[رده:نظریه مجموعهها]]
[[de:Hüllenoperator]]
[[en:Closure (mathematics)]]
[[fr:Clôture (mathématiques)]]
[[he:סגירות (אלגברה)]]
[[hr:Zatvorenost (matematika)]]
[[is:Lokun]]
[[it:Chiusura induttiva]]
[[ja:生成 (数学)]]
[[ko:닫힘 (수학)]]
[[nl:Afsluiting (wiskunde)]]
[[pl:Działanie wewnętrzne]]
[[pt:Fechamento]]
[[sr:Затвореност (математика)]]
[[zh:闭包 (数学)]]
|