|
است.
با مجموع تمام مقادیر ممکن از n برای شمارش امواج ایستاده.
عامل 1/2 وجود دارد زیرا انرژی نقطه صفر حالت nام <math>E_n/2</math> است جایی که<math>E_n</math> افزایش انرژی برای حالت nام است.(این همان 1/2 است که در معادله <math>E=\hbar \omega/2</math> ظاهر شد.)به این روش نوشته شده است ، ایناست،این جمع کاملاً واضح است. با این حال ، میحال،می توان برای ایجاد عبارات محدود از آن استفاده کرد.
به طور خاص ، ممکنخاص،ممکن است سؤال شود که چگونه انرژی نقطه صفر به شکل s حفره بستگی دارد. هر سطح [[انرژی]] <math>E_n</math> به شکل بستگی دارد و بنابراین باید <math>E_n(s)</math> برای سطح انرژی و <math>\langle E(s) \rangle</math>مقدار انتظار از خلاء باشد. در این مرحله یک مشاهده مهم وجود دارد: نیرو در نقطه p بر روی دیواره حفره برابر است با تغییر در انرژی خلا اگر شکل S دیواره کمی آشفته شد که با <math>\delta s</math>در نقطه p نشان داده می شودمی‌شود بنابراین
<math display="block">F(p)=- \left. \frac{\delta \langle E(s) \rangle} {\delta s} \right\vert_p.\,</math>
که این مقدار در بسیاری از محاسبات عملی محدود است.
با تمرکز روی وضعیت یک بعدی ، می توانبعدی،می‌توان جاذبه بین صفحات را به راحتی درک کرد. فرض کنید که صفحه هدایتی متحرک در فاصله کوتاهی از یکی از دو صفحه بطور گسترده از هم جدا شده باشد (فاصله L از هم قرار دارند).با وجود ''a'' << ''L''حالت هاییحالت‌هایی در شکاف عرض a بسیار محدود می شوندمی‌شوند تا انرژی E از هر حالت به طور گسترده ایگسترده‌ای از حالت بعدی جدا شود. این مورد در منطقه بزرگ L اتفاق نمی افتد ، جایینمی‌افتد،جایی که تعداد زیادی (تعداد در حدود ''L'' / ''a'')حالت هاییحالت‌هایی با انرژی مساوی بین E و حالت بعدی در شکاف باریک فاصله دارد. اکنون با کوتاه کردن a توسط d''a'' (< 0) حالت در شکاف باریک در طول موج کاهش می یابدمی‌یابد و بنابراین در انرژی متناسب با −d''a''/''a''افزایش می یابد ، درمی‌یابد،در حالی که تمام حالت هایحالت‌های L / a که در منطقه طولی بزرگ قرار دارند ، انرژیشاندارند،انرژیشان را توسط مقداری متناسب با da / L کاهش می دهندمی‌دهند. این دو اثر تقریباً لغو می شوند ، امامی‌شوند،اما تغییر خالص اندکی منفی است ، زیرااست،زیرا انرژی تمام حالت های L / a در منطقه بزرگ کمی بزرگتر از حالت واحد در شکاف است. بنابراین نیرو جذاب است ، تمایلاست،تمایل دارد کمی کوچکتر شود.(صفحه هایی که یکدیگر را در شکاف نازک جذب می کنندمی‌کنند)
== اشتقاق اثر کازیمیر با فرض تنظیم zeta ==
در محاسبه اصلی كازیمیر ، فاصلهكازیمیر،فاصله بین یك جفت صفحات فلزی با فاصله الفا در نظر گرفته شده استشده‌است. در این حالت ، محاسبهحالت،محاسبه [[امواج|امواج ایستاده ]] بسیار آسان است ، زیرااست،زیرا اجزای عرضی میدان الکتریکی و مؤلفه طبیعی میدان مغناطیسی باید در سطح یک هادی از بین بروند. با فرض اینکه صفحات به موازات صفحه xy قرار دارند ، امواجدارند،امواج ایستاده به صورت زیر هستند:
<math display="block">\psi_n(x,y,z;t)=e^{-i\omega_nt} e^{ik_xx+ik_yy} \sin(k_n z)</math>
جایی که <math>\psi</math> مخفف عنصر الکتریکی میدان الکترومغناطیسی است و برای کوتاه بودن ، قطبشبودن،قطبش و اجزای مغناطیسی در اینجا نادیده گرفته می شودمی‌شود. در اینجا ،اینجا، <math>k_x</math> and <math>k_y</math> عدد موج در جهت های موازی با صفحه ها هستند و عبارت ریاضی
<math display="block">k_n=\frac{n\pi}{a}</math>
عدد موج عمود بر صفحات است. در اینجا ،اینجا، n یک عدد صحیح است ، کهاست،که ناشی از شرطی است که ψ بر روی صفحات فلزی ناپدید شود. فرکانس این موج به صورت زیر است:
<math display="block">\omega_n=c \sqrt{{k_x}^2 + {k_y}^2 + \frac{n^2\pi^2}{a^2}}</math>
جایی که c سرعت نور است.در نتیجه انرژی خلاء در کل ، تمام حالتهای تحریک ممکن است. از آنجا که مساحت صفحات بزرگ است ، ممکن است با ادغام بیش از دو بعد در فضای k خلاصه شویم. فرض شرایط مرزی دوره ای به صورت زیر است :
| 