تابع توزیع تجمعی: تفاوت میان نسخه‌ها

 

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

<math> P(a< X \le b)=F_X(b)-F_X(a)</math>

{{پایان وسط‌چین}}

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس [[تابع چگالی احتمال]] نیز تعریف کرد

<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math><ref>Introduction to Probability

Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition</ref>

{{پایان وسط‌چین}}

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

<math> \Pr(X=x) =F(x_0)-F(x_0-) ,</math>

{{پایان وسط‌چین}}

== خواص تابع توزیع تجمعی ==

* تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

<math display = "block">

F_X(x) =

</gallery>

* تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

<math display="block">

F_X(x) =

</math>

* اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

<math display="block">

F_X(M) =

== مثال ==

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:<ref>{{یادکرد وب |url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ |title=نسخه آرشیو شده |accessdate=28 دسامبر 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181228174800/https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ |archivedate=28 دسامبر 2018 |dead-url=yes}}</ref>

<math display="block">

f(x) =

</gallery>

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

<math display="block">

F(x) =

=== توزیع طبیعی استاندارد ===

تابع چگالی احتمال [[توزیع طبیعی|توزیع طبیعی استاندارد]] برای {{math|ℝ}} <math>x \in </math> به شکل زیر تعریف می‌شود :

<math display="block">

f(x) =

{{پایان وسط‌چین}}

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

<math display = "block">

F(x) =

=== توزیع پواسون ===

تابع چگالی احتمال [[توزیع پواسون]] برای {1,2,3,...} <math> k \in </math> و <math>\lambda \in (0,\infty)</math> به شکل زیر تعریف می‌شود:

<math display="block">

f(x) =

{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}

</math>

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

{{پایان وسط‌چین}}

=== توزیع نمایی ===

تابع چگالی احتمال [[توزیع نمایی]] برای <math>x \ge 0</math> به شکل زیر تعریف می‌شود :

<math display ="block">

f(x) =

{{پایان وسط‌چین}}

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

<math display = "block">

F(x) =

== تابع توزیع تجمعی برای توابع توام ==

تابع توزیع تجمعی برای[[توزیع احتمال توأم]] به این صورت تعریف می‌شود:

<math display="block">

F_{X_1,X_2,...,X_n}

{{پایان وسط‌چین}}

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره <math>f_{XY}(x,y) </math> به این شکل خواهد بود:

<math display="block">

F_{XY}