معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
Amirfarajian (بحث | مشارکت‌ها) بدون خلاصۀ ویرایش |
Amirfarajian (بحث | مشارکت‌ها) بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۲۰۹:
با جایگذاری :<math> \Psi = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)} e^{iS(\mathbf{r},t)/\hbar}\,\!</math>
* حرکت یک ذره توسط(طول موج کوتاه) جواب بسته موج ، برای معادله موج شرودینگر توضیح داده شده است که همچنین توسط معادله ژاکوبی-هامیلتونی نیز بیان شده است .
* معادله شرودینگر شامل تابع موج است ، بنابراین جواب بسته موج موقعیت ذره (کوانتومی) که به صورت نا منظم در جبهه موج قرار دارد ، را بیان می کند . در مقابل ، معادله ژاکوبی-هامیلتونی بیان می کند که یک ذره(کلاسیکی) مکان و تکانه به طور همزمان می توانند مشخص باشند .
'''مستقل از زمان'''
اگر هامیلتونی تابعی صریح از زمان نباشد معادله به بخش های زمانی و مکانی قابل تفکیک است . عملگر انرژی
:<math>\hat H \psi = E \psi </math>
بنابراین معادله را به دو بخش زمانی و مکانی تفکیک کرده و معادله کلی حاصلضرب این دو است : (*معادله*)▼
اکنون (*معادله*) را جایگذاری می کنیم :▼
یک جواب معادله مستقل از زمان ، یک ویژه حالت انرژی ''E'' نامیده می شود . برای پیدا کردن حالت وابستگی زمانی از معادله وابسته به زمان با شرایط اولیه ی ''ψ''('''r''') شروع می کنیم . مشتق زمانی در t'' = 0'' متناسب است با
:<math> \left.i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0}= \left.H \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0} =E \Psi(\bold{r},0) \,</math>
که در این حالت (*معادله*) حذف شده معادله برای (*معادله*) حل می شود که یک جواب معادله ی وابسته به زمان را با شرایط اولیه بیان می کند .▼
▲بنابراین معادله را به دو بخش زمانی و مکانی تفکیک کرده و معادله کلی حاصلضرب این دو است پس برای هر زمان ''t'' :
:<math> \Psi(\bold{r},t)= \tau(t) \psi(\bold{r}) \,</math>
:<math> i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t } = E \Psi \rightarrow i\hbar \psi(\bold{r})\frac{\partial\tau(t)}{\partial t } = E \tau(t)\psi(\bold{r}) \,</math>
▲که در این حالت ''ψ''(
:<math> \Psi(\bold{r},t) = \psi(\bold{r}) e^{-i{E t/\hbar}} = \psi(\bold{r}) e^{-i{\omega t}} \,</math>
این موضوع جواب معادله وابسته به زمان امواج ایستاده را بیان می کند که حالتی با انرژی مشخص است .(که به جای توزیع احتمالاتی برای انرژِی های متفاوت.) در فیزیک این امواج ایستاده حالت پایا یا ویژه حالت انرژی نامیده می شود .
| |||