ویکی‌پدیا

معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
Rezabot (بحث | مشارکت‌ها)
ربات‌ها، مدیران رباتیک
۴٬۴۱۱٬۲۶۸ ویرایش‌ها
جز ربات :جایگزینی پیوند قرمز با مترادف فارسی SCHRÖDINGER EQUATION > معادله شرودینگر
Amirfarajian (بحث | مشارکت‌ها)
۲۳ ویرایش‌ها
بدون خلاصۀ ویرایش
خط ۳۴:
'''عادله وابسته به زمان شرودینگر(عمومی)'''
، ,<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>
 
که ''[[''Ψ'']]'' تابع موج سیستم کوانتومی، ''i'' واحد موهومی، ''ħ'' ثابت کاهیده پلانک و<math>\hat{H} </math> عملگر هامیلتونی است که انرژی کل به ازای هر تابع موج داده شده را مشخص می کند و شکل های مختلفی را بسته به شرایط، به خود می گیرد.
خط ۴۰:
'''عادله وابسته به زمان شرودینگر برای ذره غیر نسبیتی مفرد'''
، ,<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf {r},t) \Psi(\mathbf{r},t)</math>
 
که ''m'' جرم ذره، ''V'' انرژی پتانسیل آن ، <sup>2</sup>∇ لاپلاسین و ''Ψ''تابع موج است (که با دقت بیشتر ، در این متن، تابع موج فضا مکان نامیده می شود). به عبارت دیگر این معادله می تواند اینگونه توصیف شود: "انرژی کل برابر است با انرژی جنبشی بعلاوه انرژی پتانسیل"، اما کلمات شکل نا مأنوسی به دلایلی که در زیر شرح داده شده اند به خود می گیرند.
خط ۵۴:
'''معادله مستقل از زمان شرودینگر(عمومی)'''
. <math>E\Psi=\hat H \Psi</math>
 
 
خط ۶۳:
 
'''معادله مستقل از زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی)'''
. .<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \Psi(\mathbf{r})</math>
تعاریف همانند بالا هستند.
 
خط ۱۱۳:
پایستگی انرژی: انرژی کل ذرات متشکل از جمع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. این جمع معادل هامیلتونی در مکانیک کلاسیک است :
 
. <math>E = T + V =H \,\!</math>
 
در حقیقت برای ذرات در یک بعد با موقعیت مکان ''x'' جرم ''m'' و تکانه ''P'' و انرژی پتانسیل ''V'' عموماً با موقعیت زمان ''t'' تغییر می کند .
 
.<math> E = \frac{p^2}{2m}+V(x,t)=H.</math>
 
برای سه بعدی ها بردار مکان '''r''' و بردار تکانه ی '''P''' باید استفاده شود.
 
، ,<math>E = \frac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V(\bold{r},t)=H</math>
 
این معادله می تواند برای هر تعداد ذره ثابت گسترش یابد:
خط ۱۳۰:
''''روابط دوبروی''''
 
فرضیه کوانتوم نور انیشتین (1905) بیانگر این است که انرژی ''E'' یک فوتون متناسب است با بسامد ''ν'' (یا بسامد زاویه ای ''ω''&nbsp;=&nbsp;2π''ν'') که به بسته های موج کوانتومی نور، مربوط می شود.
 
.<math>E = h\nu = \hbar \omega \,\!</math>
 
همانند فرضیه دوبروی (1924) بیانگر این است که هر ذره می تواند با یک موج و تکانه P ذره از طریق رابطه زیر ارتباط داشته باشد با طول (''λ'') یک موج کذایی در یک بعد:
 
:,<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k\;,</math>
 
در سه بعد:
، :,<math>\mathbf{p} = \frac{h}{\lambda} = \hbar \mathbf{k}\;.</math>
 
که '''k''' بردار موج است (و طول موج با اندازه ی '''k''' ارتباط دارد.)
خط ۱۵۱:
رابطه پلانک – انیشتین و دوبروی:
 
: ,<math>E=\hbar\omega, \quad \bold{p}=\hbar\bold{k} </math>
 
رابطه ای میان فضا با تکانه، انرژی با زمان را مشخص می کند. که اگر در معادلات بالا ħ'' = 1'' معادلات زیر بدست می آید:
:.<math>E=\omega, \quad \bold{p}=\bold{k} </math>
 
انرژی و بسامد زاویه ای هر دو یک بعد دارند که با زمان رابطه مستقیمی دارند، تکانه و ععد موج هر دو با طول موج رابطه عکسی دارند .
در اواخر 1925 نظریه ی شرودینگر بیانگر این بود که فاز امواج تخت، مانند فاکتور فازی پیچیده در این روابط استفاده می شود.
 
:.<math>\Psi = Ae^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)} = Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} </math>
و برای دانستن مشتقات جزئی مرتبه اول نسبت به مکان:
:.<math> \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}\Psi </math>
و زمان:
:.<math> \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi </math>
حاکی از مشتقات
:<math> \begin{matrix} -i\hbar\nabla\Psi = \bold{p}\Psi & \rightarrow & -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi = \dfrac{1}{2m}\bold{p}\cdot\bold{p}\Psi \\
خط ۱۷۰:
\end{matrix} </math>
با ضرب ''Ψ'' در معادله انرژی
:,<math>E= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V \rightarrow E\Psi= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}\Psi+V\Psi</math>
بلافاصله معادله شرودینگر به دست می آید:
:.<math>i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}= -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi</math>
 
قیاس منطقی دیگر در مکانیک کوانتومی این است که همه مشاهده گر ها توسط عملگر هایی که روی تابع موج عمل می کنند، نشان داده می شوند. ویژه مقادیر عملگر ها مقادیری هستند که مشاهده گر ها به خود می گیرند. مشتقات قبلی بر اساس مشتقات زمان به عملگر های انرژی ختم می شوند.
 
:.<math>\hat{E}= i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} </math>
 
و عملگر تکانه بر اساس مشتقات فضایی:<math>\bold{\hat{p}}= -i\hbar\nabla</math> می باشد.
این ها عملگر های دیفرانسیلی هستند ، که به جز انرژی پتانسیل '''V''' که فقط یک فاکتور ضربی است. جایگذاری این عملگر ها در معادله انرژی توسط ''Ψ'' به همان معادله موج بر می گردد. و نکته جالب این است که انرژی و تکانه یک تقارن با زمان دارد و اینها دلایلی هستند که در آن انرژی و تکانه پایسته می مانند .
انرژی جنبشی ''T'' با مربع تکانه '''p'''رابطه دارد. وقتی تکانه ذره ، افزایش می یابد انرژی جنبشی به سرعت افرایش پیدا می کند. اما وقتی عدد موج '''k''' افزایش پیدا می کند طول موج <math>\scriptstyle \lambda</math> کاهش می یابد.
 
:.<math> \bold{p}\cdot\bold{p} \propto \bold{k}\cdot\bold{k} \propto T \propto |\nabla^2\Psi| \propto \dfrac{1}{\lambda^2}</math>
 
'''5.3-جواب برای معادله'''
 
جواب عمومی معادله می تواند به راحتی در قسمت پایین دیده شود.امواج تخت قطعاً یک جواب است چون برای بدست آوردن تابع استفاده شده است. همچنین هر ترکیب خطی از امواج ساده یک جواب است. برای هر '''k''' های گسسته، هر ترکیب خطی ، یک بر هم نهی امواج تخت است.
 
:.<math> \Psi(\bold{r},t) = \sum_{n=1}^\infty A_n e^{i(\bold{k}_n\cdot\bold{r}-\omega_n t)} \,\!</math>
 
و برای '''k''' های پیوسته هر ترکیب خطی، یک انتگرال است که بسط فوریه ی تکانه ی فضایی تابع موج است.
 
:,<math> \Psi(\bold{r},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3}\int\Phi(\bold{k})e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}d^3\bold{k} \,\!</math>
 
که ''d''<sup>3</sup>'''k''' = ''dk<sub>x</sub>dk<sub>y</sub>dk<sub>z</sub>'' می باشد. که انتگرال به روی فضای '''k''' گرفته می شود و تابع موج در فضای تکانه ('''Φ('''k از زیر انتگرال به دست می آید. از آنجایی که اینها معادله شرودینگر را اغنا می کند، جواب معادله شرودینگر برای شرایط داده شده فقط برای بدست آوردن امواج تخت، استفاده نمی شود، بلکه هر تابع موجی که معادله شرودینگر، به دست آمده از سیستم، علاوه بر شرایط مرزی مربوط، را اغنا کند، استفاده می شود. می توان نتیجه گرفت معادله شرودینگر برای شرایطی (غیر نسبیتی) درست است.
خط ۲۰۰:
شرودینگر فرض کرد که جواب بسته موج (نه فقط برای امواج تخت) در مکان '''r''' و عدد موج '''k''' در طول یک مسیر مشخص شده، توسط مکانیک کلاسیک، در حدی که طول موج کوتاه است <math> \scriptstyle \lambda \,\!</math> حرکت خواهد کرد. برای مثال، برای یک '''k''' بزرگ و در نتیجه '''P''' بزرگ در مقایسه با ثابت کاهیده پلانک ''ħ''. به عبارت دیگر در حدی که ''ħ'' به صفر میل میل می کند، معادلات مکانیک کلاسیک از معادلات مکانیک کوانتومی، به دست می آیند. حاصل استفاده از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ برای مکان و تکانه صفر می شود و این مانند این است که ثابت کاهیده پلانک به صفر میل کند ħ'' → 0'' .
:,<math> \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \rightarrow \quad \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant 0 \,\!</math>
که ''σ'' بیانگر عدم قطعیت اندازه گیری در ''x'' و ''p<sub>x</sub>'' (و شبیه به آن در مسیر های ''y'' و ''z'' ) است. که بیان می کند که مکان و تکانه در این حد، می توانند با دقت دلخواه مشخص شوند.
 
که این فرم عمومی معادله شرودینگر به صورت زیر است. :
 
:و<math> i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) = \hat{H} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) \,\!</math>
 
که با معادله ژاکوبی هامیلتونیهامیلتون-ژاکوبی رابطه ی نزدیکی دارد.:
 
:و<math> \frac{\partial}{\partial t} S(q_i,t) = H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) \,\!</math>
 
جایی که ''S'' کنش است و''H'' تابع هامیلتونی است (نه عملگر). تعمیم مختصات، ''q<sub>i</sub>'' برای i'' = 1,2,3'' می تواند موقعیت در مختصات دکارتی را، هماهنگ کند.
 
با جایگذاری :
,<math> \Psi = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)} e^{iS(\mathbf{r},t)/\hbar}\,\!</math>
که ρ چگالی احتمال است سپس اگر از معادله بدست آمده حد ħ'' → 0'' گرفته شود معادله هامیلتونی-ژاکوبی بدست خواهد آمد.
* حرکت یک ذره توسط(طول موج کوتاه) جواب بسته موج، برای معادله موج شرودینگر توضیح داده شده است که همچنین توسط معادله ژاکوبی-هامیلتونی نیز بیان شده است.
* معادله شرودینگر شامل تابع موج است، بنابراین جواب بسته موج موقعیت ذره (کوانتومی) که به صورت نا منظم در جبهه موج قرار دارد، را بیان می کند. در مقابل، معادله ژاکوبی-هامیلتونی بیان می کند که یک ذره(کلاسیکی) مکان و تکانه به طور همزمان می توانند مشخص باشند.
 
'''مستقل از زمان'''
اگر هامیلتونی تابعی صریح از زمان نباشد معادله به بخش های زمانی و مکانی قابل تفکیک است. عملگر انرژی <math> \hat{E} = i \hbar \partial / \partial t \,\!</math> می تواند توسط مقادیر ویژه انرژی جایگزین شود. که فرم خلاصه شده معادله ویژه مقداری برای هامیلتونی است <math> \hat{H}</math>. ▼
 
▲اگر هامیلتونی تابعی صریح از زمان نباشد معادله به بخش های زمانی و مکانی قابل تفکیک است. عملگر انرژی <math> \hat{E} = i \hbar \partial / \partial t \,\!</math> می تواند توسط مقادیر ویژه انرژی جایگزین شود. که فرم خلاصه شده معادله ویژه مقداری برای هامیلتونی است <math> \hat{H}</math> است.
:<math>\hat H \psi = E \psi </math>▼
 
▲:,<math>\hat H \psi = E \psi </math>
 
یک جواب معادله مستقل از زمان، یک ویژه حالت انرژی ''E'' نامیده می شود. برای پیدا کردن حالت وابستگی زمانی از معادله وابسته به زمان با شرایط اولیه ی ('''ψ('''r شروع می کنیم. مشتق زمانی در t'' = 0'' متناسب است با
 
:.<math> \left.i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0}= \left.H \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0} =E \Psi(\bold{r},0) \,</math>
 
بنابراین معادله را به دو بخش زمانی و مکانی تفکیک کرده و معادله کلی حاصلضرب این دو است پس برای هر زمان ''t'':
 
:,<math> \Psi(\bold{r},t)= \tau(t) \psi(\bold{r}) \,</math>
 
اکنون ''Ψ'' را جایگذاری می کنیم:
 
:,<math> i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t } = E \Psi \rightarrow i\hbar \psi(\bold{r})\frac{\partial\tau(t)}{\partial t } = E \tau(t)\psi(\bold{r}) \,</math>
 
که در این حالت ('''ψ('''r حذف شده معادله برای <math> \scriptstyle \tau(t)\,\!</math> حل می شود که یک جواب معادله ی وابسته به زمان را با شرایط اولیه بیان می کند.
 
:.<math> \Psi(\bold{r},t) = \psi(\bold{r}) e^{-i{E t/\hbar}} = \psi(\bold{r}) e^{-i{\omega t}} \,</math>
 
این موضوع جواب معادله وابسته به زمان امواج ایستاده را بیان می کند که حالتی با انرژی مشخص است.(که به جای توزیع احتمالاتی برای انرژِی های متفاوت.) در فیزیک این امواج ایستاده حالت پایا یا ویژه حالت انرژی نامیده می شود.
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/معادله_شرودینگر»