لگاریتم طبیعی: تفاوت میان نسخه‌ها

{{ویکی‌سازی}}

لگاریتم طبیعی که قبلاً به عنوان لگاریتم هیپربولیک شناختیم، لگاریتمی است که پایه آن e است که ثابت مشخصی است که تقریباً برابر 2.718281828، لگاریتم طبیعی را می‌توان برای همه اعداد حقیقی مثبت x که در ناحیهٔ زیر منحنی ''y'' = 1/''t'' از 1 تا x تعریف نمود و همچنین برای اعداد مختلط غیر صفر که در زیر توضیح داده خواهد شد می‌توان تعریف کرد.

تابع لگاریتم طبیعی همچنین به عنوان تابع معکوس تابع نمایی که منجر به همانی می‌شود، می‌تواند تعریف شود.

 

 

:<math>\ln(e^x) = x.\,\! </math>

به بیان دیگر تابع لگاریتم یک نگاشت دو سویی است از مجموعه اعداد حقیقی مثبت به مجموعه همه اعداد حقیقی، دقیق‌تر این است که یک ایزومورفیسم (یکریختی) از یک گروه از اعداد حقیقی مثبت تحت عمل ضرب به گروهی از اعداد حقیقی تحت عمل جمع است. لگاریتم می‌تواند برای هر پایهٔ مثبتی غیر از 1 تعریف شود، نه فقط e. برای حل معادلات پدیده‌های ناشناخته به عنوان توانی از بعضی مقادیر دیگر (حدود دیگر) ظاهر می‌شوند، مفید است.

 

== قراردادهای نوشتاری ==

 

ریاضیدانان عموماً هر دوی(log(x یا(ln (x را به معنای(log(x یعنی لگاریتم طبیعی x بکار می‌برند و می‌نویسند«log₁₀(''x'')»، اگر پایه 10 لگاریتم x خواسته شده باشد، گرچه اغلب در ایالات متحده(log(x و یا(log (xy بدون پایه‌ای مشخص بکار می‌رود، به معنای«log₁₀(''x'')».

ـ مهندسین زیست‌شناسان و برخی دیگر فقط ln(x) می‌نویسند (یا بعضی اوقات ) زمانی که لگاریتم طبیعی x را می‌خواهند و به کار می‌برند “(log(x «برای (به معنی) »log₁₀(''x'')«. یاًlog₂(''x'')».

ـ در بیشتر اوقات، زبان‌های برنامه‌نویسی که متداولاً استفاده می‌شود cft , c و فرتون و بیسیک منظور از log یا LOG، لگاریتم طبیعی است.

 

 

== دلایل طبیعی بودن ==

 

اصولاً به نظر می‌آید که در جهان پایه 10 برای تقریباً همه‌جا و محاسبات، استفاده می‌شود، این پایه بیشتر خواسته می‌شود، نسبت به پایه e. به دو دلیل ما(ln(x را طبیعی می‌نامیم. اول: تعبیر اینکه متغیرهای ناشناخته‌ای که ظاهر می‌شود به عنوان توانی از e، بیشتر وجود دارند نسبت به توان‌ها 10، و دوم: لگاریتم طبیعی نسبتاً آسانتر از یک انتگرال ساده یا سری تیلور می‌تواند تعریف شود. چیز یکه در مورد لگاریتم‌های دیکر درست نیست، بنابراین لگاریتم طبیعی مفیدتر است در ادامه عیناً دیده خواهد شد در تمرینات. مسئله از مشتق گرفتن یک تابع لگاریتمی را ملاحظه کنید.

 

اگر پایهٔ b مساوی با e باشد مشتق 1/''x'' و در 1=x شیب نمودار 1 است.

دلایل دیگر برای طبیعی بودن لگاریتم طبیعی وجود دارد. تعداد زیادی از سری‌های ساده وجود دارند که شامل لگاریتم‌های طبیعی‌اند و این اغلب در طبیعت رخ می‌دهد، در حقیقت نیکولاس هرکاتر، توصیف‌کننده آنها به عنوان طبیعت‌گیرای log تا قبل از حساب دیفرانسیل انتگرال تصور شده‌است.

 

= \ln (a) + \ln (b)

</math>

 

رقم e می‌تواند یک عدد حقیقی یکتا a تعریف شود، بطوری که 1=(ln(a متناوباً: اگر یک تابع نمایی تعریف شده باشد نخست یک سری نامتناهی استفاده می‌شود. لگاریتم طبیعی ممکن است به عنوان تابع معکوس آن تعریف شود؛ یعنی (ln(x تابعی است که <math>e^{\ln(x)} = x\!</math>. از این رو برد توابع نمایی در مباحث حقیقی، تمام اعداد حقیقی مثبت است. و از این رو تابع نمایی اکیداً صعودی است. این یک مشخصه برای همه اعداد مثبت x است.

 

== مشتق، سری تیلور و مباحث مختلط ==

 

مشتق لگاریتم‌های طبیعی به وسیلهٔ

:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>

 

گرفته می‌شود، این به سری تیلور منتهی می‌شود.

:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1\quad {\rm unless}\quad x = -1,</math>

 

 

== انتگرال‌گیری لگاریتم طبیعی ==

 

لگاریتم طبیعی انتگرال ساده می‌پذیرد از توابع به فرم''g''(''x'') = ''f''&nbsp;'(''x'')/''f''(''x''):، یک ضد مشتق از(g(x با ln(|''f''(''x'')|).نشان داده می‌شود این عمل به علت [[قاعده زنجیری]] و دلایل به شرح زیر یک قضیه‌است.

 

با جایگذاری (''f''(''x'') = cos(''x'') و (''f'''(''x'')= - sin(''x'' داریم

 

:<math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>

 

== ارزش عددی ==

 

برای محاسبه ارزش عددی لگاریتم طبیعی از یک عدد، با سری تیلور می‌تواند بازنویسی شود به صورت زwیر:

 

در صورتی که ''y'' = (''x''−1)/(''x''+1) و ''x'' &gt; 0.

در حالی که برای(ln(x که مقدار x نزدیک به 1 است، سریع‌ترین روش همگیرایی، همانی وابسته شده به لگاریتم برای استخراج کردن می‌تواند به کار برود.

 

 

همچنین تکنیک‌هایی که قبل از ماشین‌حساب استفاده می‌شدند با استناد به جدول‌های عددی و انجام‌دهنده‌های دستی چنان که در بالا آمده‌اند، کاربرد داشتند.

 

=== دقت بالا ===

 

برای حساب کردن دقیق لگاریتم طبیعی با ارقام زیاد، سری تیلور به نظر کارآمد نمی‌آید. از آنجا که همگیرایی کند است، یک روش تناوبی استفاده از روش نیوتن است برای معکوس کردن تابع نمایی، به طوری که سری به سرعت همگرا می‌شود. فرمول زیر یک روش تناوبی با دقت بالا در محاسبات است.

که M میانگین هندسی است و

 

 

با M انتخاب شده چنانکه p است از دقت بدست آمده، در حقیقت اگر این روش استفاده شود، وارون‌سازی نیوتن از لگاریتم طبیعی ممکن است به طور معکوس استفاده شود، برای محاسبه توابع نمایی به طور کارآمد. (ثابت‌های ln 2 و[[pi|π]] می‌توانند از پیش محاسبه شوند به اینکه دقت بکار رفته برای سری، به سرعت همگرا شود.

 

== اشتباه در محاسبه پیچیده ==

 

اشتباه در محاسبهٔ پیچیده از محاسبه لگاریتم طبیعی (استفاده از حساب ـ میانگین هندسی)،(O(M(x)ln است. در اینجا n یک عدد از ارقام با معنی است که لگاریتم طبیعی سنجیده می‌شود و(M(x یک محاسبه پیچیده از ضرب دو عدد n رقمی است.

 

== لگاریتم‌های مختلط ==

و غیره.

 

{{چپ‌چین}}

* Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 312, 1991

* [[لگاریتم]]

 

[[رده:تابع‌ها]]

[[رده:توابع ریاضی]]