کره‌های دندلین

در هندسه، از کره‌های دندلین (انگلیسی: Dandelin spheres) برای اثبات بیضی بودن تقاطع یک صفحه و یک مخروط در صورت ناموازی بودن صفحه با قاعده، ارتفاع و یال آن استفاده می‌شود.

تاریخچه

در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند. در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است.

اثبات

کره‌های دندلین مماس بر صفحهٔ زردرنگی‌اند که مخروط را قطع کرده‌است.

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است. گیریم صفحهٔ $e$ مخروطی را قطع می‌کند و در محل انقطاع یک منحنی تشکیل شده‌است. دو کرهٔ دندلین $G_{1}$ روی صفحه و $G_{2}$ زیر صفحه تعریف شده‌اند. تقاطع هر کره با مخروط یک دایره است ($k_{1}$ و $k_{2}$)، و هر کره بر صفحهٔ $e$ را در یک نقطه ($F_{1}$ و $F_{2}$) مماس است. گیریم P نقطه‌ای روی منحنی باشد. قصد است که ثابت شود با حرکت $P$ بر روی منحنی، فاصلهٔ $d(F_{1},P)+d(F_{2},P)$ ثابت می‌ماند:

• گیریم خطی که از $P$ و رأس $S$ می‌گذرد دو دایره را در نقاط $P_{1}$ و $P_{2}$ قطع کند.
• با حرکت $P$ بر روی منحنی، $P_{1}$ و $P_{2}$ بر روی دو دایره حرکت می‌کنند.
• $PF_{1}$ و $PP_{1}$ هر دو از نقطهٔ $P$ آغاز شده‌اند و بر دایرهٔ $G_{1}$ مماسند، پس $PF_{1}=PP_{1}$ (چرا که دو مثلث قائم‌الزاویهٔ $MPF_{1}$ و $MPP_{1}$ همنهشتند).
• به همین ترتیب $PF_{2}=PP_{2}$.
• از آنجا که $k_{1}$ و $k_{2}$ موازی‌اند، فاصلهٔ $P_{1}$ و $P_{2}$ همواره عدد ثابتی است؛ بنابراین با حرکت $P$ روی منحنی فاصلهٔ $d(F1,P)+d(F2,P)$ ثابت می‌ماند. پس ثابت می‌شود که منحنی مورد بحث همان بیضی است.

کره‌های دندلین و بیضی. پاره‌خط‌های آبی خط هادی اند.

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Dandelin spheres». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ دسامبر ۲۰۱۸.