پریش

نوعی جایگشت روی مجموعه، که در آن هیچ عضوی سر جای خود نیست

پریش (به انگلیسی: Derangement) در ترکیبیات یک جایگشت است، بطوری‌که هیچ‌کدام از عناصر در مکان اصلی خود نباشند. در حقیقت یک رابطهٔ وجود دارد از مجموعهٔ به خودش بدون آن که هیچ عضوی با خودش رابطه داشته باشد، یعنی برای همهٔ های عضو ، مخالف است.

مشکل شمارش پریش‌ها اولین بار در سال ۱۷۰۸ توسط پیره ریموند بررسی شد، البته نیکلاس برنولی نیز هم‌زمان برروی این موضوع کار می‌کرد.

مثال‌هاویرایش

فرض کنید یک استاد از ۴ دانشجو، ۴ امتحان گرفته و اکنون از آن‌ها می‌خواهد که آزمون‌های یکدیگر را تصحیح کنند. می‌دانیم که هیچ دانش‌آموزی نباید برگه‌ی خودش را تصحیح کند. در این‌صورت، استاد چند راه ممکن برای پخش برگه‌ها دارد، بطوری‌که هیچ دانش‌آموزی برگه‌ی خودش را نگیرد؟

اگر دانشجوها را به‌ترتیب با C، B، A و D نمایش دهیم، جایگشت‌های مطلوب بصورت زیر خواهد بود:

BADC, BCDA, BDAC ,CADB, CDAB, CDBA ,DABC, DCAB, DCBA

یعنی از میان ۲۴ جایگشت (!۴) ممکن، تنها ۹ پریش وجود دارد که در آن‌ها هیچ دانشجویی برگه‌ی خودش را نمی‌گیرد.

محاسبهٔ تعداد پریش‌هاویرایش

برای محاسبهٔ تعداد پریش‌ها، اصل متمم را به کار می بریم. نخست تعداد کل جایگشت های  تایی را می شماریم که برابر   است، و سپس با توجه به اصل متمم تعداد جایگشت‌هایی که دست کم یکی از آن‌ها در جای خودش باشد را از آن کم می کنیم که تعداد آن برابر است با

 

و اکنون می بینیم جایگشت‌هایی که دو تا از آن‌ها در جای خودشان هستند دو بار کم شده‌اند. پس طبق اصل شمول و عدم شمول، یک بار دیگر آن‌ها را جمع می کنیم که تعداد آن‌ها برابر است با

 

و می‌توان به همین ترتیب ادامه داد. پس تعداد کل پریش‌ها برابر است با

 

یا به‌عبارتی

 

محاسبهٔ تعداد پریش‌ها وقتی به سمت میل می‌کندویرایش

وقتی   به سمت   میل می‌کند آن گاه مقدار

 

به سمت   می‌رود پس تعداد کل پریش‌ها برابر می‌شود با

 

منابعویرایش