چارک (آمار)

در آمار توصیفی به هر یک از سه مقداری که یک مجموعه از داده‌های مرتب را به چهار بخش مساوی تقسیم می‌کند چارَک گفته می‌شود. به این‌صورت هر کدام از آن بخش‌ها یک‌چهارم از نمونه یا جمعیت را به نمایش می‌گذارد.

تعریف چندک مرتبهp

فرض کنید متغیر تصادفی X دارای توزیع $F(x)$ باشد. پارامتر $Q_{p}$را چندک مرتبه p برای $F(x)$ یا برای X می‌نامیم، هرگاه نامساوی دو طرفه زیر را داشته باشیم

$P(X<Q_{p})\leq p\leq P(X\leq Q_{p})$

معنی این نامساوی دو طرفه این است که مقدار احتمال در فاصله باز $(-\infty ,Q_{p})$ حداکثر p و در فاصله نیم باز $(-\infty ,Q_{p}]$ حداقل p می‌باشد. برحسب اینکه 100p یا 10p یا 4p عدد درست (بدون اعشار، integer) باشد، $Q_{p}$ را به ترتیب صدک یا دهک یا چارک می‌نامند. مثلا

• $Q_{0}.23$ را صدک بیست و سوم
• $Q_{0}.4$ را دهک چهارم می‌نامند.

البته به سه مقدار $Q_{0}.75$، $Q_{0}.50$،$Q_{0}.25$ به ترتیب چارک اول (یا چارک پایینی)، میانه و چارک سوم (یا چارک بالایی) گفته می‌شود. اگر $F(x)$ پیوسته و اکیدا صعودی باشد، یعنی نمودار آن دارای خطوط افقی یا جهشی نباشد، آنگاه نامساوی بالا تبدیل به تساوی $F(Q_{p})=p$ می‌شود و $Q_{p}$ پاسخ یکتای معادله زیر می‌باشد:

$F(Q_{p})=\int _{-\infty }^{Q_{p}}f(x)\,dx=p$

مثال ۱

داده‌ها: ۶، ۴۷، ۴۹، ۱۵، ۴۲، ۴۱، ۷، ۳۹، ۴۳، ۴۰، ۳۶
داده‌های مرتب شده (آماره ترتیبی): ۶، ۷، ۱۵، ۳۶، ۳۹، ۴۰، ۴۱، ۴۲، ۴۳، ۴۷، ۴۹

${\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=40\\Q_{3}=43\end{cases}}$

مثال ۲

برای چگالی زیر چارک اول را محاسبه می‌کنیم:

$f(x)={\begin{cases}2x&0<x<1\\0&others\\\end{cases}}$

می‌دانیم که برای چارک اول $Q_{1}$ داریم:

$F(Q_{1})=\int _{0}^{Q_{1}}2x\,dx=x^{2}|_{0}^{Q_{1}}=Q_{1}^{2}={\frac {1}{4}}$

بنابراین $Q_{1}={\frac {1}{2}}$