چرخه حدی

در علم ریاضی، و مطالعه‌ی سامانه‌های پویا که دارای فضای فاز دو بعدی هستند. یک چرخه حدی؛ مسیر بسته‌ای در فضای فاز است که پس از طی زمان لازم سامانه به وضعیتی در بی‌نهایت مثبت ویا منفی می‌رسد. به سامانه‌هایی که چنین رفتاری داشته باشند، سامانه‌ی غیرخطی می‌گویند. این چنین سامانه‌هایی اولین بار به وسیله‌ی پوآنکاره معرفی شدند. سامانه‌هایی با چرخه حدی اساساً دارای سه وضعیت هستند. سامانه گاهی به یک نقطه در داخل دور و یا در نقطه‌ای خارج از دور پس از صرف زمان مناسب می‌رسد، در شرایطی، اتفاق می‌افتد که سامانه بر روی مسیر بسته‌ای در فضای فاز در حرکت می‌ماند و از آن خارج نمی‌شود.

در تصویر سه مسیر در فضای فاز قابل مشاهده است. مسیر درشت نگاشته شده، مسیری است که سامانه دریک چرخه حدی قرار گرفته است و تا زمانی که عاملی آن را تحدید نکند، در آن می‌ماند. مسیر داخلی این دور مخدود که به شکل یک مارپیج است در نهایت به یک نقطه منتهی می‌شود که به نقطه‌ی پایدار شناخته می‌شود. مسیر خارج از چرخه حدی هم به شکل مارپیچ است اما تفاوت این مسیر با مسیر داخی در این است که سامانه در چنین مسیری اصطلاحاً آشوبناک است. و نقطه و یا حالتی مشخض برای سامانه معرفی نمی‌شود.

چرخه حد پایدار (با حروف گل‌درشت) برای نوسان‌ساز واندر پل

تعریف

یک سامانه‌ی پویای دوبعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

$$x'(t)=V(x(t))$$

به طوری که

$$V:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$$

یک نگاشت یک به یک و یک تابع خوش رفتار است. مسیر این سامانه بعضی اوقات یک تابع خوش رفتار در فضای حقیقی است که می‌توان آن را با یک معادله‌ی دیفرانسیل نشان داد. چنین مسیرهایی که پس از گذشت زمانی دوباره به نقطه‌ی آغازینشان باز می‌گردند را چرخه حدی می‌نامند. البته به هر صورت سامانه باید پویا باشد. یک سامانه ثابت را در این دسته قرار نمی‌دهیم. بدیهی است این مسیر سامانه‌ای تناوبی است و با زبان ریاضی چنین است:

$$x(t+t_{\circ })=x(t);\quad t_{\circ }>0,t\in \mathbb {R}$$