تابع بتا دیریکله

در ریاضیات، تابع بتا دیریکله (این تابع با عنوان تابع بتا کاتالان نیز شناخته می‌شود) یک تابع خاص مشابه تابع زتا ریمان است.

The Dirichlet beta function

تعریف

تابع بتا دیریکله به این صورت تعریف می‌شود:

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},$

این تابع با فرمول پایین معادل است:

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx$

در هر دو مورد، فرض بر این است که $Re(s)>0$.

مضاف بر این با تعریف پایین می‌توان تابع را توسط تابع هورویتز زتا در فضای اعداد مختلط به این شکل تعریف کرد:

$\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).$

تعریف دیگری که می‌توان از این تابع ارائه داد توسط تابع لِرش زتا است، که مانند تعریف پیشین برای تمام اعداد مختلط $s$ تعریف شده‌است:

}

$\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),$

در نهایت این تابع را می‌توان به صورت یک سری نیز تعریف کرد، با کمک تابع پُلی‌گاما:

$\beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]$

معادله تابعی

معادله تابعی تابع بتا را از سمت چپ صفحه اعداد مختلط ، $Re(s)<0$ گسترش می‌دهد:

$\beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)$

در اینجا $\Gamma (s)$ تابع گاما است.

مقادیر ویژه

برخی از ویژه مقادیر تابع عبارتند از:

$\beta (0)={\frac {1}{2}},$

$\beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},$

$\beta (2)\;=\;G,$

در اینجا $G$ عدد ثابت کاتالان است.

$\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},$

$\beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),$

$\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},$

$\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},$

در اینجا ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ نمونه ای از تابع پُلی‌گاما است. به‌طور کلی، برای هر عدد صحیح مثبت K معادله پایین همیشه برقرار است:

$\beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},$$\beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},$

در اینجا $E_{n}$ اعداد اویلر است. برای عدد صحیح $k\geq 0$ تابع به شکل پایین تغییر می‌کند:

$\beta (-k)={{E{k}} \over {2}}.$

به این ترتیب، تابع برای تمام مقادیر صحیح منفی و مفرد صفر می‌شود.

برای هر عدد صحیح مثبت $k$ معادله پایین صادق خواهد بود:

$\beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},$

همچنین مالمستن در سال ۱۸۴۲ معادله پایین را اثبات کرد:

$\beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)$

s	approximate value β(s)	OEIS
۱/۵	۰٫۵۷۳۷۱۰۸۴۷۱۸۵۹۴۶۶۴۹۳۵۷۲۶۶۵	A261624
۱/۴	۰٫۵۹۰۷۲۳۰۵۶۴۴۲۴۹۴۷۳۱۸۶۵۹۵۹۱	A261623
۱/۳	۰٫۶۱۷۸۵۵۰۸۸۸۴۸۸۵۲۰۶۶۰۷۲۵۳۸۹	A261622
۱/۲	۰٫۶۶۷۶۹۱۴۵۷۱۸۹۶۰۹۱۷۶۶۵۸۶۹۰۹	A195103
۱	۰٫۷۸۵۳۹۸۱۶۳۳۹۷۴۴۸۳۰۹۶۱۵۶۶۰۸	A003881
۲	۰٫۹۱۵۹۶۵۵۹۴۱۷۷۲۱۹۰۱۵۰۵۴۶۰۳۵	A006752
۳	۰٫۹۶۸۹۴۶۱۴۶۲۵۹۳۶۹۳۸۰۴۸۳۶۳۴۸	A153071
۴	۰٫۹۸۸۹۴۴۵۵۱۷۴۱۱۰۵۳۳۶۱۰۸۴۲۲۶	A175572
۵	۰٫۹۹۶۱۵۷۸۲۸۰۷۷۰۸۸۰۶۴۰۰۶۳۱۹۴	A175571
۶	۰٫۹۹۸۶۸۵۲۲۲۲۱۸۴۳۸۱۳۵۴۴۱۶۰۰۸	A175570
۷	۰٫۹۹۹۵۵۴۵۰۷۸۹۰۵۳۹۹۰۹۴۹۶۳۴۶۵
۸	۰٫۹۹۹۸۴۹۹۹۰۲۴۶۸۲۹۶۵۶۳۳۸۰۶۷۱
۹	۰٫۹۹۹۹۴۹۶۸۴۱۸۷۲۲۰۰۸۹۸۲۱۳۵۸۹
۱۰	۰٫۹۹۹۹۸۳۱۶۴۰۲۶۱۹۶۸۷۷۴۰۵۵۴۰۷

منابع

• Glasser, M. L. (1972). "The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures". J. Math. Phys. 14 (3): 409. Bibcode:1973JMP....14..409G. doi:10.1063/1.1666331.
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Beta Function". MathWorld.