تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .
تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

[۱]

تابع توزیع تجمعی تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی [۲]

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

[۳]

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

که در اینجا به معنی حد چپ تابع است وقتی که به میل می‌کند[۱]

خواص تابع توزیع تجمعیویرایش

  • تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

 
  • تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

 
  • تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
  •  
  •  
  •  [۱]
  • اگر   باشد، آنگاه :

 
  •  
  •  
  • اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

 

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.[۴]

مثالویرایش

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:[۵]

 

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

 

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیعویرایش

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استانداردویرایش

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای   به شکل زیر تعریف می‌شود :

 

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

 

نمودارویرایش

توزیع پواسونویرایش

تابع چگالی احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...}   و   به شکل زیر تعریف می‌شود:

 

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

 

نمودارویرایش

توزیع نماییویرایش

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای   به شکل زیر تعریف می‌شود :

 

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

 

نمودارویرایش

تابع توزیع تجمعی برای توابع توامویرایش

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

 

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره   به این شکل خواهد بود:

 

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

  •  
  •  
  •  
  •  [۶]

منابعویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047
  2. Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, ISBN 0-471-60090-3.
  3. Introduction to Probability Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition
  4. «نسخه آرشیو شده» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۳۱ اکتبر ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸.
  5. «نسخه آرشیو شده». بایگانی‌شده از اصلی در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸.
  6. https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_2_joint_cdf.php