تابع متقارن

در ریاضیات، تابعی از n متغیر، متقارن است اگر مقدار آن در هر n-تایی از آرگومان ها (جایگشت مختلف از n-تایی ها) یکسان باشد. بنابراین، اگر f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 )، تابع می‌تواند روی همه متغیرهایش یا تنها روی (x1,x2)، (x2,x3) یا (x1,x3 ) نامتقارن باشد.

نمونه ها

• برای تابع

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

با توجه به تعریف، تابع نامتقارن با n متغیر باید ویژگی زیر را داشته باشد

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})$ etc.

عموما، تابع برای هر جایگشت از متغیرهایش مقدار یکسانی خواهد داشت. یعنی

$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$

برای همه جایگشت های $x_{1},x_{2},x_{3}$

• برای تابع

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}$

اگر x و y جابجا شوند، حاصل می شود

$f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}$

که نتیجه یکسانی با تابع اصلی f(x,y) خواهد داشت

• برای تابع

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}$

اگر x و y جابجا شوند، حاصل می شود

$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$

مقدار تابع با مقدار تابع اصلی اگر a ≠ b یکسان نیست، در نتیجه این تابع نامتقارن است.

منابع

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, انتشارات دانشگاه کمبریج.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4 .