تابع موبیوس

تابع موبیوس٬ که با نمایش داده می‌شود٬ تابعی پر اهمیت در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات است. آگوست فردینانند موبیوس صورت اولیه‌ی این تابع را در سال ۱۸۳۲ میلادی معرفی کرد.

تعریفویرایش

برای هر عدد صحیح مثبت   مقدار تابع موبیوس با توجه به تجزیه‌ی   به عوامل اول به صورت زیر تعریف می‌شود:

  • اگر   خالی از مربع نباشد، یعنی اگر عدد اول   موجود باشد که مربع آن  ، عدد   را بشمارد، آن‌گاه  ؛
  • اگر   خالی از مربع باشد و تعداد عوامل اول   برابر   باشد، یعنی اگر   حاصل‌ضرب   عدد اول متفاوت باشد، آن‌گاه  .

برای مثال، اگر عدد ۲۴  را در نظر بگیریم،   زیرا ۲۴ خالی از مربع نیست. اما اگر عدد ۳۰  را در نظر بگیریم،   زیرا ۳۰ حاصل‌ضرب سه عدد اول متفاوت ۲، ۳ و ۵ است.

مقادیر تابع موبیوس برای برخی اعداد صحیح مثبت
۳۰ ۲۹ ۲۸ ۲۷ ۲۶ ۲۵ ۲۴ ۲۳ ۲۲ ۲۱ ۲۰ ۱۹ ۱۸ ۱۷ ۱۶ ۱۵ ۱۴ ۱۳ ۱۲ ۱۱ ۱۰ ۹ ۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱  
۱- ۱- ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۱- ۱ ۱ ۰ ۱- ۰ ۱- ۰ ۱ ۱ ۱- ۰ ۱- ۱ ۰ ۰ ۱- ۱ ۱- ۰ ۱- ۱- ۱  

خواص تابع موبیوسویرایش

تابع موبیوس یک تابع ضربی است.


منابعویرایش