توزیع دیریکله در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته است. این توزیع بطور کلی حالت گسترش یافته توزیع بتا برای توابع چندمتغیره است. معمولاً از توزیع دیریکله به عنوان توزیع پیشین در مدل سازی بیزی استفاده می‌شود؛ چرا که توزیع دیریکله مزدوج پیشین (conjugate prior) برای توزیع چندجمله ای و توزیع دسته ای (categorical) است. تعمیم این توزیع فرایند دیریکله است.

توزیع دریکله
پارامترها تعداد دسته ها (عددی صحیح)
concentration parameters, که در آن
تابع چگالی احتمال
تابع چگالی احتمال
Several images of the probability density of the Dirichlet distribution when K=3 for various parameter vectors α. Clockwise from top left: α=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).
تابع توزیع تجمعی
‫تکیه‌گاه که در آن و
تابع چگالی احتمال
که در آن
که در آن
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین

(see digamma function)
میانه
مُد
واریانس
که در آن
چولگی
کشیدگی
انتروپی see text
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) {{{mgf}}}
تابع مشخصه {{{char}}}
چندین تصویر توزیع دریکله وقتی که K=3 برای بردارهای مختلف پارامتر α است. به‌صورت ساعتگرد از بالا چپ: α=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).

تعریف ریاضیویرایش

تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:

 

به ازای همهٔ x1, ..., xK–1> 0 بطوریکه x1 + ... + xK–1 < 1, و xK = 1 – x1 – ... – xK–1. چگالی در خارج از این ناحیه صفر است. ثابت نرمالیزاسیون به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

حالت های خاصویرایش

یک حالت خاص زمانی است که تمامی مقادیر   مقدار یکسانی داشته باشند، که در اینصورت آن را توزیع دیریکلهٔ متقارن می نامیم. در این حالت توزیع ساده می‌شود به:

 

زمانی که   توزیع معادل با توزیع یکنواخت روی یک تکیه‌گاه (ریاضی) سیمپلکس   بعدی.

ویژگی هاویرایش

گشتاورهاویرایش

فرض کنیم متغیرهای تصادفی   و :  را در اختیار داریم. تعریف می‌کنیم  . بنابرین [۱][۲]

 
 

علاوه بر این اگر if  

 

مدویرایش

مد توزیع برداری مانند (x1, ..., xK) است که در آن:

 

توزیع حاشیه ایویرایش

توزیع‌های حاشیه ای توزیع دیریکله، توزیع بتا هستند.

مزدوج برای توزیع چندجمله ای/دسته ایویرایش

این به این معنی است که اگر در مدلسازی مجموعه ای از داده ها از توزیع چندجمله ای/دسته ای استفاده کنیم و توزیع پیشین را دیریکله قرار دهیم، توزیع پسین الزاماً یک توزیع دیریکله خواهد بود. به زبان ریاضی یعنی

 

بنابرین روابط مقابل برقرار هستند:

 

ارتباط با توزیع دیریکله-چندجمله ایویرایش

آنتروپیویرایش

می دانیم

 
و
 

که در آن   تابع تابع دایگاما و   تابع ترایگاما،   دلتای کرونکر است.

 

ادغام پارامترهاویرایش

اگر   اگر متغیرهای تصادفی i-ام و j-م را با هم ادغام کنیم دیریکلهٔ حاصل برابر است با:

 

منابعویرایش

  1. Eq. (49.9) on page 488 of Kotz, Balakrishnan & Johnson (2000). Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications. New York: Wiley.
  2. BalakrishV. B. (۲۰۰۵). «"Chapter ۲۷٫ Dirichlet Distribution"». A Primer on Statistical Distributions. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ص. ۲۷۴. شابک ۹۷۸-۰-۴۷۱-۴۲۷۹۸-۸.
  1. http://www.cis.hut.fi/ahonkela/dippa/node95.html