دو شاخه شدن

«دوشاخه‌شدن» یا «انشعاب»، مفهومی است در نظریهٔ مدل مربوط به گسترش تایپ‌ها که بر اساس آن مفهوم «استقلال نامُنْشَعِب» یا «استقلال دوشاخه‌نشدنی» یا «استقلال نافُرکان» تعریف می‌شود. گسترشهای نامنشعب یک تایپ (در برابرِ گسترشهای منشعب آن) را می‌توان «آزاد» ترینِ گسترشهای آن تایپ تعبیر کرد. در تئوریهای ثابت، هر تایپ دارای تنها یک گسترش نامنشعب به تایپی جهانی است، و آن گسترش، تنها شریک‌ارث تایپ مورد نظر است.

اگر $T$ تئوری‌ای اُمگاثابت باشد، گسترش نامنشعب یک تایپ، گسترشی از آن است که مرتبهٔ مُرلی برابر با خودِ آن تایپ دارد. از آنجا که در میدانهای بستهٔ جبری، مرتبهٔ مُرلی با «درجهٔ تعالی» تعیین می‌شود، استقلال غیرانشعابی را می‌توان تعمیمی از مفهوم استقلال در جبر دانست.

تعریف و برخی ویژگی‌ها

فرض کنید $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ یک چندتایی از پارامترهایی در مدل هیولا باشد. فرمولِ $\phi (x,a)$ را گوییم که بر مجموعهٔ $A$ بخش می‌شود هرگاه دنباله‌ای مانند $(a_{i})_{i\in \omega }$ در مدل هیولا پیدا شود که در آن برای هر $i$ داشته باشیم $a_{i}\equiv _{A}a$، و نیز عددی مانند $k\in \omega$ پیدا شود که مجموعهٔ $\{\phi (x,a_{i})|i\in \omega \}$ از فرمولها، $k$ ــ ناسازگار باشد (یعنی هر زیرمجموعهٔ $k$ عضوی از آن، ناسازگار باشد). نیز می‌گوییم $\phi (x,a)$ بر $A$ دوشاخه می‌شود، یا بر آن منشعب می‌شود، هرگاه فرمولهای $\psi _{1}(x,a_{1}),\ldots ,\psi _{n}(x,a_{n})$ یافت شوند که هر یک روی $A$ بخش می‌شود و داشته باشیم $\phi (x,a)\models \psi _{1}(x,a_{1},)\vee \ldots \vee \psi _{n}(x,a_{n})$. اگر $p$ تایپی کامل روی یک مجموعهٔ پارامترِ $B$ باشد و داشته باشیم $A\subseteq B$ آن‌گاه می‌گوییم $p$ روی $A$ منشعب می‌شود هرگاه فرمولی در آن پیدا شود که روی $A$ منشعب شود. نیز اگر $a$ و $b$ دو عنصر دلخواه در مدل هیولا باشند، می‌گوییم $a$ روی مجموعهٔ $A$ از $b$ مستقل غیرانشعابی است هرگاه $tp(a/Ab)$ روی $A$ منشعب نشود. روشن است که بخش شدن یک فرمول انشعاب آن را نتیجه می‌دهد؛ اما عکس این برقرار نیست. در تئوریهای ساده بخش شدن و منشعب شدن با هم معادلند. در تئوریهای بدون ویژگی وابستگی (تئوریهای نیپ) بخش شدن و منشعب شدن «بر روی مدلها» با هم معادلند. رابطهٔ استقلال غیرانشعابی دارای ویژگیِ تعدی از چپ است؛ یعنی اگر $tp(a/Ac)$ بر $A$ منشعب نشود و $tp(b/Aac)$ بر $Aa$ منشعب نشود، آن‌گاه $tp(ab/Ac)$ بر $A$ منشعب نمی‌شود؛ ولی این رابطه در حالت کلی دارای ویژگی تقارن نیست (یعنی اگر $a$ از $b$ مستقل باشد، لزوماً $b$ از $a$ مستقل نیست). در تئوریهای ساده (و از این رو، نیز در تئوریهای ثابت) این رابطه، تقارنی است. در واقع، با تعیین دقیق استقلال غیرانشعابی می‌توان تئوریها را دسته‌بندی کرد. برای مثال اگر $T$ یک تئوری کامل باشد و $R$ رابطه‌ای دوتایی در آن باشد که ویژگیهای ناوردایی، تعدی و یکنوایی، تقارن، مشخصهٔ متناهی، مشخصهٔ موضعی، استقلال روی مدلها و وجود را داراست، آنگاه این تئوری، ساده است و رابطهٔ $R$ در آن دقیقاً همان رابطهٔ استقلال نافرکان است.

انشعاب در میدانهای بستهٔ جبری

تئوری میدانهای بستهٔ جبری، بسیارکمینه، و نیز ثابت است. استقلال نافرکان (یا همان استقلال غیرانشعابی) را در این تئوری‌ها «مرتبهٔ مُرلی» و از این رو «استقلال جبری» دقیقاً تعیین می‌کند. در میدانهای بستهٔ جبری $a$ از $b$ روی $A$ مستقل غیرانشعابی است هرگاه $tp(a/Ab)$ روی $A$ منشعب نشود، اگروتنهااگر مرتبهٔ مُرلیِ $tp(a/Ab)$ برابر با مرتبهٔ مرلیِ $tp(a/A)$ باشد. نیز اگر $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ آنگاه $MR(tp(a/A))=m$ اگروتنهااگر $\{a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{m}}\}$ بزرگترین زیرمجموعه‌ای از $a$ باشد که روی $A$ مستقل جبری است.