رابطه کوبو

در فیزیک، رابطه کوبو (انگلیسی: Kubo formula) رابطه‌ای است که پاسخ خطی یک کمیت مشاهده‌پذیر را ناشی از یک اختلال وابسته به زمان بیان می‌کند. یک سامانه‌ی کوانتومی توصیف‌شده توسط هامیلتونین وابسته به زمان $H_{0}$ را در نظر می‌گیریم. برای عملگر ${\hat {A}}$ خواهیم داشت:

$\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}$

${\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}$

که در آن $Z_{0}=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ تابع پارش است. حال فرض کنیم که پس از زمان $t=t_{0}$ یک اختلال به سامانه وارد شده باشد. این اختلال با یک تابعیت زمان در هامیلتونین بیان می‌شود: ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ که در آن $\theta (t)$ تابع پله‌ای هویساید بوده و ${\hat {V}}(t)$ هرمیتی است، به گونه‌ای که ${\hat {H}}(t)$ برای $t-t_{0}$ دارای یک مجموعه کامل از ویژه‌مقدارهای حقیقی $E_{n}(t).$ (وابسته به زمان) است.

تحول زمانی بردارهای حالت $|n(t)\rangle$ پیرو معادله شرودینگر است $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,$ (در تصویر شرودینگر)، اما از آنجایی که ${\hat {V}}(t)$ را می‌توان یک اختلال کوچک قلمداد کرد، ساده‌تر آن است که نمایش تصویر اندرکنش را در پایین‌ترین مرتبه به کار گرفت، $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$. تحول زمانی در این تصویر به صورت $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,$ که طبق تعریف برای هر t و $t_{0}$ داریم: $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

تا مرتبه‌ی خطی در ${\hat {V}}(t)$ داریم ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$. بنابراین برای ${\hat {A}}(t)$ به دست می‌آید:

${\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}$

این رابطه برای هر نوع عملگری برقرار است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Kubo formula». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۱۸.