عدد قدرتمند

عدد طبیعی مثبت n قدرتمند است اگر به ازای هر عدد اول p که n را عاد می‌کند، عدد $p^{2}$ نیز n را عاد کند. می‌توان نشان داد هر عدد قدرتمند مانند m را می‌توان به صورت $a^{2}b^{3}$ نوشت که a, b هر دو اعدادی طبیعی هستند.

نمایش اعداد قدرتمند ۱، ۴، ۸، ۹

در زیر فهرستی از اعداد قدرتمند کوچکتر از ۱۰۰۰ را می‌بینیم:

۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲، و ۱۰۰۰.

همچنین جفت‌های متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:

(۸٬۹), (۲۸۸٬۲۸۹), (۶۷۵٬۶۷۶), (۹۸۰۰٬۹۸۰۱), (۱۲۱۶۷٬۱۲۱۶۸), (۲۳۵۲۲۴٬۲۳۵۲۲۵), (۳۳۲۹۲۸٬۳۳۲۹۲۹) و (۴۶۵۱۲۴٬۴۶۵۱۲۵).

اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به‌طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیراً نشان داده شده‌است که ۳ حکم زیر معادلند (قضیه مولین و والاش):

1. سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
2. عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت $p^{2}-q=1$ وجود دارند.
3. عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که $m\equiv 7{\pmod {7}}$ و ${(T_{1}+U_{1}{\sqrt {m}})}^{k}=T_{k}+U_{k}{\sqrt {m}}$ و k عدد طبیعی فردی است که $T_{k}$ kامین عدد زوج قدرتمند است و $U_{k}$ kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.

• گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت (4k-1,4k+1) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید به صورت (4k-1,4k.4k+1) باشند.
• گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بی‌نهایت عدد اول p وجود دارد که $p^{2}$ مضربی از $2^{p}-2$ نباشد.

منابع

• http://en.wikipedia.org/wiki/Powerful_number
• http://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html
• http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=PowerfulNumber

پیوند به بیرون

• https://web.archive.org/web/20000819203144/http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html
• https://web.archive.org/web/20080929025542/http://www.daviddarling.info/encyclopedia/P/powerful_number.html