عدد طبیعی

اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت^[۱] اعدادی هستند که از یک ( ۱ ) شروع می‌شود و تا بینهایت (عدد n) ادامه دارند. و شامل صفر نمی‌شود و برای شمارش (به‌طور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (به‌طور مثال در «این سومین شهر بزرگ در کشور است») به کار می‌روند. در اصطلاح‌شناسی ریاضیات، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت یعنی {... و۱٬۲٬۳} است. این اعداد شامل اعداد مرکب، اعداد اول و یک است.

به بیان ساده، عدد طبیعی، عددی است که در طبیعت وجود دارد و برای شمردن عناصر طبیعی استفاده می‌شوند، برای مثال عدد صفر یا اعداد منفی در طبیعت وجود ندارند و در مجموعه اعداد طبیعی نیستند.

برای بودن یا نبودن عدد صفر در مجموعه اعداد طبیعی سه تعریف موجود می‌باشد. در تعریف اول طبق استاندارد ISO 80000-2 عدد صفر با عنوان اعداد صحیح غیر منفی پذیرفته شده‌است.^[۲] اما در تعریف دیگر صفر به عنوان یک عضو شناخته نمی‌شود و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است. پس تنها تفاوت بین اعداد طبیعی و اعداد حسابی وجود صفر در اعداد حسابی است. در ریاضیات اعداد صحیح و حسابی را نیز به ترتیب با حروف Z و W نمایش می‌دهند. N از حرف آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای نهادی (طبیعی)، گرفته شده‌است. باور فعلی علم بر آن است که صفر یک عدد بی‌علامت است که جزء اعداد صحیح و حسابی می‌باشد. مجموعۀ اعداد طبیعی، یک مجموعۀ نامتناهی است و زیر مجموعه ی اعداد حسابی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی می‌باشد.

اصل استقرای ریاضی

بنیادی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی اصل استقرای ریاضی است. استقرار ریاضی بیان می‌کند که اگر $P(x)$ به معنای صدق ویژگی P برای عدد x باشد، برای اینکه $P(x)$ برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند باید:^[۳]

$P(1)$ صدق کند،
با فرض اینکه $P(k)$ صدق می‌کند بتوان ثابت کرد $P(k+1)$ نیز صادق است.

به‌این‌ترتیب با ترکیب شرط ۱ و ۲ (در حالت خاص $k=1$ ) می‌توان گفت که $P(2)$ هم صادق است، در نتیجه بنابر شرط ۲ (در حالت خاص $k=2$ )، $P(3)$ هم صادق است. واضح است که با تکرار چندبارهٔ این عملیات می‌توان ویژگی P را برای هر عددی ثابت کرد، ازین‌رو $P(k)$ برای همهٔ اعداد k صادق است.^[۴]

فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبۀ جمعِ اعدادِ (طبیعیِ) $1$ تا $n$ وجود دارد را می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد؛ بنابراین فرمول: $1+2+3+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}.$ برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است ( ${\frac {1(1+1)}{2}}=1$ ). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد:^[۵] $1+2+3+...+k={\frac {k(k+1)}{2}}.$
آن‌گاه:
$1+2+3+...+k+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1),$
$={\frac {k(k+1)+5(k+1)}{2}},$
$={\frac {k^{2}+3k+2}{2}},$
$={\frac {(k+1)(k+2)}{2}},$ (تجزیهٔ دوجمله‌ای صورت)
بنابراین فرمول برای $k+1$ صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی، این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است.^[۶]

روش صوری‌تر برای بیان استقرای ریاضی (بدون استفاده از «ویژگی» های عدد) این است که A یک مجموعۀ ناتهی در نظر گرفته شود و شرط گذاشته شود که

عدد ۱ عضوی از مجموعهٔ A باشد، و
با فرض اینکه k عضوی از مجموعهٔ A باشد بتوان ثابت کرد که $k+1$ عضوی از مجموعهٔ A است.

به‌این‌ترتیب ثابت می‌شود که A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.^[۷]

شرط ناتهی بودن مجموعهٔ A به این دلیل است که مجموعه تهی «کوچک‌ترین عضو» ندارد و هر مجموعهٔ ناتهی «کوچک‌ترین عضو» دارد. این اصل را، که به اصل خوش‌ترتیبی موسوم است، می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. فرض شود A «کوچک‌ترین عضو» نداشته باشد و B مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی‌ای باشد که عضو A نیستند. مشخص است که عدد ۱ عضو A نیست (چرا که اگر ۱ عضو A بود A «کوچک‌ترین عضو» داشت)، و علاوه‌براین اگر ۱ تا k عضو A نباشند، k+1 هم عضو A نیست (درغیراین‌صورت k+1 کوچک‌ترین عضو A می‌بود)، پس ۱ تا k+1 در A نیستند. ازین امر نتیجه می‌شود که ۱ تا n برای هر عدد طبیعی n عضو A نیستند و ثابت می‌شود که $A=\emptyset$ .^[۸]

همچنین می‌توان اصل استقرای ریاضی را با استفاده از اصل خوش‌ترتیبی ثابت کرد.^[۹] «اصل استقرای ریاضی کامل» را هم می‌توان به عنوان نتیجهٔ اصل استقرای ریاضی به دست آورد. این اصل زمانی به کار می‌آید که برای اثبات $P(k+1)$ علاوه بر $P(k)$ باید $P(l)$ نیز برای همهٔ اعداد طبیعی $l\leq k$ مفروض باشد. در این حالت بر اساس «اصل استقرای ریاضی کامل»، اگر A مجموعه‌ای از اعداد طبیعی باشد،

عدد ۱ عضوی از مجموعهٔ A باشد، و
با فرض اینکه $1,\ldots ,k$ اعضای مجموعهٔ A باشند بتوان ثابت کرد که $k+1$ عضوی از مجموعهٔ A است،

آنگاه A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.^[۱۰]

تعریف بازگشتی

بازگشتی در برنامه نویسی نیز کاربرد دارد ؛ تعریف بازگشتی مفهومی نزدیک به اصل استقرای ریاضی است. برای نمونه، عدد $n!$ (که «اِن فاکتوریل» خوانده می‌شود) به عنوان حاصل‌ضرب همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر یا برابر با n تعریف می‌شود:^[۱۱]

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n$

مفهوم فاکتوریل را می‌توان به شکل دقیق‌تر زیر بیان کرد:^[۱۲]

$1!=1$
1=!0
$n!=(n-1)!\cdot n$

حاصل‌جمع همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از یا برابر با n نیز (که با نماد $\sum _{i=1}^{n}k$ نشان داده می‌شود) نیز تعریفی بازگشتی است و می‌توان آن را به شکل زیر بیان کرد:^[۱۳]

$\sum _{i=1}^{1}a_{i}=1$
$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{n}+\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}$

تعریف صوری

اصول موضوعهٔ پئانو

اصول پئانو خواص حسابی اعداد طبیعی که با یک مجموعه N یا $\mathbb {N} .$ نمادهای غیر منطقی برای اصول، شامل یک نماد ثابت ۰ و یک نماد تابعی تک متغیره S می‌شود.

اصل نخست می‌گوید که ثابت ۰ یک عدد طبیعی است:

۰ یک عدد طبیعی است.چهار اصل بعدی، رابطه تساوی را توصیف می‌کنند. از آن جایی که آن‌ها در منطق مرتبه اول دارای تساوی از نظر منطقی معتبرند، در ملاحظات مدرن، آن‌ها به عنوان بخشی از «اصول پئانو» در نظر گرفته نمی‌شود.
برای هر عدد طبیعی x، داریم x = x. یعنی تساوی بازتابی است.
برای اعداد طبیعی x و y، اگر x = y، آنگاه y = x. یعنی تساوی، تقارتی است.
برای اعداد طبیعی y ,x و z، اگر x = y و y = z، آنگاه x = z. یعنی تساوی، متعدی است.
برای هر a و b، اگر b یک عدد طبیعی بوده و a = b، در آن صورت a نیز یک عدد طبیعی است؛ یعنی اعداد طبیعی تحت تساوی بسته‌اند.

باقی اصول موضوعه، خواص حسابی اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند. اعداد طبیعی، مفروض اند بر اینکه تحت یک تابع «تالی» تک متغیره S بسته‌اند.

برای هر عدد طبیعی S(n) ,n یک عدد طبیعی است.
برای اعداد طبیعی m و n، داریم m = n اگر و تنها اگر ‏S(m) = S(n)‎. یعنی، S تابعی یک‌به‌یک است.
برای هر عدد طبیعی n، گزاره S(n) = ۰ نادرست است؛ یعنی هیچ عدد طبیعی وجود ندارد که تالیش صفر باشد.

ساخت بر اساس نظریهٔ مجموعه‌ها

تاریخچه

ریشه‌های باستانی

ابتدایی‌ترین روش برای نمایش یک عدد طبیعی قرار دادن علامت برای هر شی است. پس از آن، یک مجموعه از اشیا را می‌توان برای برابری، کمبود یا کمبود آزمایش کرد - با زدن یک علامت و برداشتن یک شی از مجموعه.

نخستین پیشرفت عمده در انتزاع، استفاده از اعداد برای نشان دادن تعداد بود. که اجازه می‌دهد تا سیستم‌هایی برای ثبت تعداد زیاد ساخته شوند. مصریان باستان سیستم قدرتمندی از اعداد را با هیروگلیف مشخص برای ۱، ۱۰ و قدرت ۱۰ تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند. یک سنگ تراشیده شده در کارناک، که از حدود ۱۵۰۰ سال قبل از میلاد قدمت دارد و اکنون در موزه لوور پاریس نگه داری می‌شود، ۲۷۶ را ۲ صدها، ۷ ده و ۶ مورد نشان می‌دهد. و به همین ترتیب برای عدد ۴۶۲۲. بابلی‌ها دارای یک سیستم ارزش مکانی بودند که اساساً بر اساس اعداد ۱ و ۱۰ استفاده می‌شود، با استفاده از پایه شصت، به طوری که نماد برای شصت همان نماد برای یک بود - مقدار آن از زمینه تعیین می‌شد.^[۱۴]

پیشرفت بعدی توسعه این ایده بود که ۰ را می‌توان به عنوان یک عدد در نظر گرفت. استفاده از یک رقم ۰ در ارزش گذاری مکان (در سایر اعداد) از ۷۰۰ قبل از میلاد توسط بابلی‌ها آغاز شد، آنها وقتی این رقم آخرین نماد این عدد بود، چنین رقمی را حذف کردند.

تمدن اولمک و مایا از اوایل قرن اول قبل از میلاد صفر را به عنوان یک عدد جداگانه به کار بردند، اما این کاربرد فراتر از Mesoamerica گسترش نیافت.^[۱۵]^[۱۶] استفاده از عدد صفر در دوران معاصر با ریاضیدان هندی Brahmagupta در سال ۶۲۸ میلادی آغاز شد. با این حال، صفر به عنوان یک عدد در محاسبه قرون وسطایی (محاسبه تاریخ عید پاک) استفاده شده‌است، که با Dionysius Exiguus در ۵۲۵ میلادی شروع می‌شود، بدون اینکه با یک عدد مشخص شود (اعداد استاندارد رومی برای ۰ نمادی ندارند). در عوض، nulla (یا فرم جنایی nullae) از nullus، کلمه لاتین «هیچ»، برای نشان دادن مقدار ۰ استفاده شد.^[۱۷]

اولین مطالعه سیستماتیک اعداد به عنوان انتزاع معمولاً به فیلسوفان یونانی فیثاغورس و ارشمیدس نسبت داده می‌شود. برخی از ریاضی دانان یونانی با عدد ۱ متفاوت از اعداد بزرگتر برخورد می‌کنند، حتی گاهی اوقات اصلاً به عنوان یک عدد نیستند. برای نمونه، اقلیدس ابتدا یک واحد و سپس یک عدد را به عنوان کثرت واحدها تعریف کرد، بنابراین طبق تعریف وی، یک واحد یک عدد نیست و هیچ عدد منحصر به فردی وجود ندارد (به عنوان مثال، هر دو واحد از نامحدود بسیاری از واحدها است a 2)

مطالعات مستقل در مورد اعداد نیز تقریباً در همان زمان در هند، چین و آمریکای میانه رخ داده‌است.^[۱۸]

تعاریف مدرن

در قرن نوزدهم اروپا بحث ریاضی و فلسفی دربارهٔ ماهیت دقیق اعداد طبیعی وجود داشت. مکتبی از ناتورالیسم اظهار داشت که اعداد طبیعی نتیجه مستقیم روان انسان است. هنری پوانکره یکی از طرفداران آن بود، و همچنین لئوپولد کرونکر، که عقیده خود را چنین خلاصه کرد: «خداوند اعداد صحیح را ایجاد کرد، چیزهای دیگر کار انسان است».

در مخالفت با طبیعت گرایان، سازه گرایان نیاز به بهبود دقت منطقی در مبانی ریاضیات داشتند. در دهه ۱۸۶۰، هرمان گراسمن تعریف بازگشتی را برای اعداد طبیعی پیشنهاد کرد، بنابراین اظهار داشت که آنها واقعاً طبیعی نیستند - اما یک نتیجه تعاریف. پی آن، دو کلاس از این تعاریف رسمی ساخته شد. بعداً هنوز نشان داده شد که در اکثر کاربردهای کاربردی برابر هستند.

تعاریف نظری مجموعه ای از اعداد طبیعی توسط فرگه آغاز شد. وی در ابتدا یک عدد طبیعی را به عنوان کلاس تمام مجموعه‌هایی تعریف می‌کند که با یک مجموعه خاص مطابقت یک به یک دارند. با این حال، این تعریف منجر به ایجاد پارادوکسهایی از جمله پارادوکس راسل شد. برای اجتناب از چنین تناقضاتی، فرم گرایی به گونه ای اصلاح شد که یک عدد طبیعی به عنوان یک مجموعه خاص تعریف شود و گفته می‌شود که هر مجموعه ای که می‌تواند با آن مجموعه مکاتبه یک به یک کند، آن تعداد عنصر را دارد.^[۱۹]

دسته دوم تعاریف توسط چارلز سندرز پیرس معرفی شد، توسط ریچارد ددکیند پالایش شد و توسط جوزپه پینو بیشتر مورد کاوش قرار گرفت. این رویکرد اکنون حساب Peano نامیده می‌شود. این بر اساس بدیهی سازی خصوصیات اعداد ترتیبی است: هر عدد طبیعی یک جانشین دارد و هر عدد طبیعی غیر صفر یک سلف منحصر به فرد دارد. حساب Peano با چندین سیستم ضعیف نظریه مجموعه مطابقت دارد. یکی از این سیستم‌ها ZFC است که بدیهی بودن آن با نفی جایگزین شده‌است. قضایایی که می‌توانند در ZFC اثبات شوند اما با استفاده از Peano Axioms قابل اثبات نیستند، شامل قضیه گودشتاین است.^[۲۰]

با تمام این تعاریف، مناسب است که صفر (مربوط به مجموعه خالی) به عنوان یک عدد طبیعی باشد. درج صفر اکنون در بین نظریه پردازان مجموعه و منطق دانان رایج است.^[۲۱] زبان‌های رایانه ای هنگام برشمردن مواردی مانند شمارنده‌های حلقه و عناصر رشته‌ای یا آرایه ای، اغلب از صفر شروع می‌شوند.^[۲۲]^[۲۳]از طرف دیگر، بسیاری از ریاضیدانان سنت قدیمی را برای گرفتن عدد ۱ به عنوان اولین عدد طبیعی حفظ کرده‌اند.