فرایند ایستای دوره‌ای

فرایند ایستای دوره‌ای (به انگلیسی: Cyclostationary process) یا فرایند دوره‌ای‌مانا، فرایندی اتفاقی (به انگلیسی: Stochastic process) است که خواص آماری آن به‌طور تناوبی با زمان تغییر می‌کند. به عبارت دیگر خواص آماری در هر T واحد زمانی تکرار می‌شوند. یعنی در این فرایند، متغیرهای تصادفی

$X(t_{1}),X(t_{2}),...,X(t_{r})$

و

$X(t_{1}+T),X(t_{2}+T),...,X(t_{r}+T)$

دارای توزیع تجمعی یکسانی هستند.

تعریف

به فرایند تصادفی پیوسته در زمان $\{X(t)|t\in \mathbb {R} \}$ ایستای دوره‌ای می‌گویند اگر عدد حقیقی مثبت $T$ باشد به‌طوری‌که برای تمام $t_{1},t_{2},...,t_{r}\in \mathbb {R}$ توزیع تجمعی

$X(t_{1}),X(t_{2}),...,X(t_{r})$

و

$X(t_{1}+T),X(t_{2}+T),...,X(t_{r}+T)$

یکسان باشد.

مثال

برای فرایند تصادفی $\{X(t)|t\in \mathbb {R} \}$ که $X(t)=ACos(wt)$ که $A$ یک متغیر تصادفی است داریم:

$X(t+2\pi /w)=ACos(wt+2\pi )=Acos(wt)=X(t)$

$X(t)$ یک سیگنال متناوب با دوره تناوب $T=2\pi /w$ است. در نتیجه خواص آماری $X(t)$ با تغییر زمان به اندازه $T$ تغییر نمی‌کند. در نتیجه $X(t)$ یک فرایند ایستای دوره‌ا‌ی با دوره تناوب $T=2\pi /w$ است.

فرایند ایستای دوره‌ای ضعیف (Weak cyclostationary)

به فرایند تصادفی پیوسته در زمان $\{X(t)|t\in \mathbb {R} \}$ ایستای دوره‌ای ضعیف یا ایستای دوره‌ای در معنای وسیع می‌گویند اگر یک عدد حقیقی مثبت $T$ وجود داشته باشد به طوری که:

1- $E_{X}(t+T)=E_{X}(t)$ برای تمام $t\in \mathbb {R}$

2- $R_{X}(t_{1}+T,t_{2}+T)=R_{X}(t_{1},t_{2})$ برای هر $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$ ($R$ تابع خودهمبستگی است)

ایستایی دوره‌ای در فرایندهای گسسته

به‌طور مشابه تعاریف فوق برای فرایندهای گسسته نیز قابل بیان است. به عنوان مثال یک فرایند تصادفی گسسته در زمان $\{X(n)|n\in \mathbb {Z} \}$ ایستای دوره‌ای ضعیف است اگر یک $M\in \mathbb {Z}$ باشد به‌طوری‌که

1- $E_{X}(n+M)=E_{X}(n)$ برای تمام $n\in \mathbb {Z}$

2- $R_{X}(n_{1}+M,n_{2}+M)=R_{X}(n_{1},n_{2})$ برای هر $n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z}$ ($R$ تابع خودهمبستگی است)

منابع

• https://www.probabilitycourse.com/chapter10/10_1_4_stationary_processes.php
• https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclostationary_process