قاعده زنجیره‌ای

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای رابطه‌ای برای یافتن مشتق ترکیب دو تابع است.

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام باشد، و نیز خود تابع متغیر سوم باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر نسبت به برابر است با آهنگ تغییر نسبت به ضرب در آهنگ تغییر نسبت به . به زبان ریاضی:

اثباتویرایش

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌هاویرایش

برای اثبات قاعده‌ی زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا   و   را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک  ،   و بصورت متقابل،   را محاسبه می‌کنیم. داریم:

 
و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطه‌ی پایین، یعنی همان قاعده‌ی زنجیره‌ای، دست می‌یابیم.
 

مثال‌هاویرایش

اگر تابع  ‎ در نقطه   و تابع   در  ‎ مشتق پذیر باشند آنگاه تابع   نیز در   مشتق پذیر است و داریم:

 

مثلاً اگر   که در آن   باشد مشتق تابع   در نقاط مشتق پذیر برابر است با:

 

منابعویرایش

  • کتاب انتگرال و دیفرانسیل دوره پیش دانشگاهی رشته علوم ریاضی (ریاضی-فیزیک) ISBN 964-05-0277-4

جستارهای وابستهویرایش